Непрерывен ли арктангенс равномерно?

[samuil]

А как определить -- непрерывен ли равномерно $f(x)=\arctg x$ при $x\in (-\infty; \infty)$ ?

Сразу попутно вопрос:

Как узнать изначально -- что нужно доказывать?
1) Наличие равномерной непрерывности
2) Отрицание равномерной непрерывности

От чего плясать -- от окрестности $U_\delta$ или $U_\varepsilon$?


Есть попытки, но они какие-то странные, поэтому записал в оффтоп:

(Оффтоп)

Так как я оптимист, пытаюсь доказать пункт 1)

$|f(x_2)-f(x_1)|=|\arctg x_2-\arctg x_1|$

Дальше пытаюсь как-то это оценить сверху.

$\arctg x_1=\alpha$

$\arctg x_2=\beta$

$\tg(\arctg x_2-\arctg x_1)= \tg(\beta-\alpha)=\dfrac{\tg\beta - \tg\alpha}{1+\tg\alpha\cdot \tg\beta}=\dfrac{x_2-x_1}{1+x_1\cdot x_2}$

тогда

$|\arctg x_2-\arctg x_1|=\Big|\arctg\big(\dfrac{x_2-x_1}{1+x_1\cdot x_2}\big)\Big|$


Можно еще написать, что $\Big|\arctg\big(\dfrac{x_2-x_1}{1+x_1\cdot x_2}\big)\Big|<\dfrac{\pi}2$

[gris]

Арктангенс непрерывен и имеет конечные пределы на бесконечности. То есть чисто интуитивно равномерно непрерывен. Я бы так и доказал, через пределы.

[samuil]

gris в сообщении #506646 писал(а):

Арктангенс непрерывен и имеет конечные пределы на бесконечности. То есть чисто интуитивно равномерно непрерывен. Я бы так и доказал, через пределы.

Ок, спасибо! Тогда возникает еще 2 вопроса:

1) Если функция непрерывна и ограничена, то она непрерывна равномерно? (для любой ли функции или нет)

2) Если функция непрерывна, но неограниченна, то может ли она быть равномерно непрерывной?!

[Хорхе]

1) нет 2) да

[gris]

1) Достаточно дифференцируемости и ограниченности производной. А сама функция может быть непрерывной, ограниченной, но время от времени совершать колебания постоянной амплитуды, но на всё меньшем интервале.
2) пример — $y=x$

[samuil]

Хорхе в сообщении #506660 писал(а):

1) нет 2) да

Ух, тогда неочевидно -- от чего плясать при поиске равномерной сходимости)
Видимо, я плохо понимаю -- что это)

Знаю определение на языке $\varepsilon - \delta$, но не понимаю -- к чему оно и зачем нужно..

Можете, пожалуйста -- на пальцах объяснить --- что такое равномерная непрерывность?

[ИСН]

Лучше сначала Вы объясните, что такое просто непрерывность.

-- Вт, 2011-11-22, 20:15 --

На пальцах, да. Это у разных людей по-разному получается.
(Определение не надо. Оно-то у всех одно.)

[Хорхе]

На пальцах и без эпсилон-дельта - легко!

Равномерная непрерывность -- это если $|x_n-y_n|\to 0$, то $|f(x_n)-f(y_n)|\to 0$. Заметьте, что в отличие от определения непрерывности, у нас теперь две последовательности, а не одна. То есть если значения аргумента достаточно близки (и неважно, где они находятся), то и значения функции достаточно близки.

[Null]

Почти все задачи в которых надо доказать равномерную непрерывность решаются на основе 2 фактов:
1. Функция с ограниченной производной на промежутке, равномерно непрерывна на нем.
2. Функция непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем.
Ну и то что если функция равномерно непрерывна на 2 промежутках, то она равномерно непрерывна на их объединении.

Забыл
3. Периодические непрерывные функции равномерно непрерывны.

[ИСН]

Вот видите. Сколько людей, столько мнений!
Я бы так сказал:
Непрерывность - это когда нигде не рвётся.
Равномерная непрерывность - это когда нигде не дёргается слишком резко.
Абсолютная непрерывность - это когда даже если разрезать на кусочки и склеить, всё равно нигде не дёргается слишком резко.
Липшицевость - это когда нигде не дёргается резче прямой...
...и это ведь ещё не всё.

[samuil]

ИСН в сообщении #506670 писал(а):

Лучше сначала Вы объясните, что такое просто непрерывность.

Совсем "жаргонное" определение:

Функция непрерывна - если ее график является "сплошной линией"(без разрывов), которую можно нарисовать, не отрывая карандаш от бумаги!

[gris]

График непрерывной функции можно нарисовать пальцем, не отрывая его от доски.
График равномерно непрерывной — двумя пальцами одной руки без растопырки и выворачивания.

[Хорхе]

gris, без выворачивания - это липшицева функция. Вы никогда не нарисуете график корня без выворачивания.

[samuil]

Хорхе в сообщении #506671 писал(а):

На пальцах и без эпсилон-дельта - легко!

Равномерная непрерывность -- это если $|x_n-y_n|\to 0$, то $|f(x_n)-f(y_n)|\to 0$. Заметьте, что в отличие от определения непрерывности, у нас теперь две последовательности, а не одна. То есть если значения аргумента достаточно близки (и неважно, где они находятся), то и значения функции достаточно близки.

Спасибо!
Неважно где --
то значит, что не только при $n\to \infty$ или для других $n$ может выполняться?!

-- 22.11.2011, 20:31 --

Null в сообщении #506673 писал(а):

Почти все задачи в которых надо доказать равномерную непрерывность решаются на основе 2 фактов:
1. Функция с ограниченной производной на промежутке, равномерно непрерывна на нем.
2. Функция непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем.
Ну и то что если функция равномерно непрерывна на 2 промежутках, то она равномерно непрерывна на их объединении.

Спасибо, полезные утверждения!!!

Цитата:

Функция с ограниченной производной на промежутке, равномерно непрерывна на нем.

Если промежуток --- бесконечен, то это все равно выполняется?!

-- 22.11.2011, 20:32 --

ИСН в сообщении #506674 писал(а):

Вот видите. Сколько людей, столько мнений!
Я бы так сказал:
Непрерывность - это когда нигде не рвётся.
Равномерная непрерывность - это когда нигде не дёргается слишком резко.
Абсолютная непрерывность - это когда даже если разрезать на кусочки и склеить, всё равно нигде не дёргается слишком резко.
Липшицевость - это когда нигде не дёргается резче прямой...
...и это ведь ещё не всё.

Вот совсем на пальцах, спасибо!!!

[Хорхе]

Нет, $n$ пусть стремится к бесконечности все-таки (хотя это действительно не важно, но данная неважность универсальна). А вот $x_n$ с $y_n$ могут ходить где угодно и как угодно.