Расслоение CP^n над сферой

[shwedka]

Ну, даже и не нужно спрашивать у Виро. Все есть в его книге
'Элементарная топология', 23.Lx. страница 139 русского издания.

[Bulinator]

shwedka
Вы эту книгу имеете ввиду? Если даже там оно и есть, то я не нашел. Можете указать название главы?

[shwedka]

Bulinator в сообщении #506536 писал(а):

shwedka
Вы эту книгу имеете ввиду? Если даже там оно и есть, то я не нашел. Можете указать название главы?

Глава 4, §23, раздел 23.3х, стр. 139 третьего русского издания 2010 года.
Маленькое различие, что дополнительно нужно провести факторизацию по лучам.
В варианте, который лежит на сайте Виро, это параграф 22, стр. 168.
------------
Нет, винюсь, не совсем то!

[alcoholist]

Давайте построим гомотопическую последовательность "расслоения" $\mathbb{C}P^{2n+1}\to S^{4n}$ со слоем $S^2$.

$$ \ldots\to \pi_i(S^2)\to\pi_i(\mathbb{C}P^{2n+1})\to\pi_i(S^{4n})\to\pi_{i-1}(S^2)\to\ldots $$

при $i=2$ получается полная фигня...

(Оффтоп)

а гомологии в расслоениях считать очень сложно... и Олега Яновича по этому поводу лучше не беспокоить:)

[g______d]

А в чем фигня? Последовательность

$$ ...\to \mathbb Z\to \mathbb Z\to 0\to 0\to ... $$

разве не может быть точной? Или есть какие-то соображения, по которым первая стрелка не изоморфизм?

[alcoholist]

подумайте про $\pi_2(\mathbb{C}P^{2n+1})$ при $n\ne 0$

-- Вт ноя 22, 2011 18:17:22 --

или посмотрите на фигню при $i=3$

[g______d]

alcoholist в сообщении #506621 писал(а):

подумайте про $\pi_2(\mathbb{C}P^{2n+1})$ при $n\ne 0$

Ненавижу ссылаться на википедию, но там написано, что это $\mathbb Z$.

http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_pr ... opy_groups

Над остальным подумаю.

[Bulinator]

Понял, спасибо.
Приведу правильные размышления а потом свои

Рассмотрим $\mathbb{C}^{2n}\simeq\mathbb{H}^n$ с комплексными координатами $\lambda_k$, $k=1,...,2n$ или
кватернионными $v_i=\lambda_{2i-1}+j\lambda_{2i}$, $i=1,...,n$.
Тогда координаты на $\mathbb{H}P^{n-1}$ определяются по формуле
$q_\alpha=v_\alpha v_n^{-1}\equiv v_\alpha \frac{\bar v_n}{v_n\bar v_n}$, $\alpha=1,...,n-1$
Запишем $v_\alpha=q_\alpha v_n=q_\alpha(\lambda_{2n-1}+j\lambda_{2n})=\lambda_{2\alpha-1}+j\lambda_{2\alpha}$.
Поделим последнее равенство на $\lambda_{2n}$. Получим
$q_\alpha(z_{2n-1}+j)=z_{2\alpha-1}+j z_{2\alpha}$. Тут я ввел координаты на $\mathbb{C}P^{2n-1}$ $z_k=\lambda_k/\lambda_{2n}$.
С одной стороны $z_{2n-1}$ есть просто координата на $\mathbb{C}P^{2n-1}$ а с другой, если рассматривать $(\lambda_{2n-1},\lambda_{2n})$ как отдельное $\mathbb{C}^2$, то оно же является координатой на $\mathbb{C}P^1\simeq S^2$.
Таким образом, определив преобразование $z_{2n-1}=u$ получим:
$q_\alpha(u+j)=z_{2\alpha-1}+j z_{2\alpha}$, $u=z_{2n-1}$ и расслоение
$\mathbb{C}P^{2n-1}/S^2\simeq \mathbb{H}P^{n-1}$ с $n\geq 2$

[g______d]

alcoholist в сообщении #506621 писал(а):

или посмотрите на фигню при $i=3$

Подумал, получили

$$ ...\to \mathbb Z\to 0 \to 0\to \mathbb Z\to \mathbb Z\to 0\to 0\to ... $$

(в начале $\pi_3(S^2)$, в конце $\pi_1(S^2)$).

[alcoholist]

g______d в сообщении #506634 писал(а):

Подумал, получили

$$ ...\to \mathbb Z\to 0 \to 0\to \mathbb Z\to \mathbb Z\to 0\to 0\to ... $$

(в начале $\pi_3(S^2)$, в конце $\pi_1(S^2)$).

Значит остается только случай $n=1$.