Найти решение задачи Коши

[keep-it-real]

$\\ y'+2xy=y^2e^{x^2},y(0)=e^2\\ \frac{1}{y^2}\frac{dy}{dx}+2x\frac{1}{y}=e^{x^2}$
делаю замену
$z=\frac{1}{y}$
далее вызывает затруднение нахождение $\frac{dz}{dx}$
как найти?

[ИСН]

Вы производную от $1\over x$ в обычной жизни как берёте? а от $1\over x^2$?
вот примерно так и тут.

[phys]

А вам это и не нужно, дифференцируйте $z =\frac{1}{y}$ подставляйте $dy = -\frac{1}{z^2}dz$ в исходное уравнение, предварительно учтите что $y' = \frac {dy} {dx}$

(Оффтоп)

ИСН, что то я вас не особо понял, топикстартер наверно тоже не вкурит

[keep-it-real]

phys
мне просто надо применить способ уравнения бернулли

-- 21.11.2011, 23:11 --

получаю $\frac{dz}{dx}=\frac{-1}{y^2}\frac{dy}{dx}$
а как правильно подставить это в уравнение?

[Хорхе]

keep-it-real в сообщении #506400 писал(а):

а как правильно подставить это в уравнение?

Вопрос "как" уместен, если вариантов много, а тут вариант ровно один. Вот так и подставьте.

[keep-it-real]

так?
$\frac{dz}{dx}-2xz=e^{x^2}$

[phys]

keep-it-real в сообщении #506400 писал(а):

phys
мне просто надо применить способ уравнения бернулли

-- 21.11.2011, 23:11 --

получаю $\frac{dz}{dx}=\frac{-1}{y^2}\frac{dy}{dx}$
а как правильно подставить это в уравнение?

Вопрос знатокам, а так вобще можно делать?
Я конечно попробую сам сообразить "а почему нельзя?"...

[keep-it-real]

что-то неверно?

[phys]

Да вроде похоже, только у меня коэфф. вдвое меньше при экспоненте и $xz$. Поставьте свое еще раз $:)$ Не знаю откуда у вас еще двойки взялись.

[keep-it-real]

keep-it-real в сообщении #506408 писал(а):

так?
$\frac{dz}{dx}-2xz=-e^{x^2}$

изменила

-- 21.11.2011, 23:37 --

дальше делаю так:
полагаю, что
$\\ z=u(x)v(x)\frac{dz}{dx}=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}\\ u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}-2xuv=-e^{x^2}\\ u(\frac{dv}{dx}-2xv)+v\frac{du}{dx}=-e^{x^2}\\ \frac{dv}{dx}-2xv=0$,
тогда
$\frac{dv}{y}=2xdx$
$\\ ln y=x^2 \\ y=e^{x^2}\\ e^{x^2}\frac{du}{dx}=-e^{x^2}\\ du=-e^{x^2}e^{-x^2}dx\\ u=-x+C $

-- 22.11.2011, 00:13 --

что делать дальше?

[phys]

Цитата:

так?
$\frac{dz}{dx}-2xz=-e^{x^2}$

Угу.

По мне так лучше замену $z = uv$ использовать только в крайнем случае, нас вобщей ей учили с пометекой "знать но не делать", это как goto в Pascal'e.

Решите однородное (с разделяющимися переменными), а потом неоднородное, например использую вариацию постоянной. Решение неоднородного есть сумма решения однородного + частное решение неоднородного. Так будет проще, а то запутаетесь вы с этими $uv$.

[keep-it-real]

пока что,хотелось бы закончить начатое ранее) не подскажите как?

[keep-it-real]

phys, я вот начала ваши способом пытаться решать, дошла до момента подстановки $y'$ и $y$ в неоднородное уравнение, получила
$C'(x)e^{-x^2}-(2 x C e^{-x^2})^2=e^{x^2}$
как его решить?

[ИСН]

Так не бывает. Производную как брали?

[keep-it-real]

для начала правильно ли я разделяю переменные
$\frac{y'+2xy}{y^2}=e^{x^2}$?