Функционально уравнение

[Mega Sirius12]

Хочу предложить задачку, сочиненную прошлой ночью
Найти все функции $f(x)$ c ОДЗ$x={1;+\infinity}$
и такие, что
$f(x)+f(y)=f(xy+\sqrt{(x^2-1)(y^2-1)})$
Задавать наводящие вопросы разрешается

[Хорхе]

Найти прям таки все? Если меня не проглючило, гиперболическими заменами сводится к Коши.

[Mega Sirius12]

ловко
А можно расписать?-хочется посмотреть на ваше решение

[Хорхе]

$x=\ch a$, $y= \ch b$, $g(t) = f(\ch t)$.

$g(a) + g(b) = f(x) + f(y) = f(\ch a \ch b + \sh a \sh b) = f(\ch(a+b)) = g(a+b)$
Таким образом, подойдет любая $f(x) = g(\operatorname{ach} x)$, где $g$ -- решение уравнения Коши.

[Mega Sirius12]

верно, там выйдет функция, обратная гиперболическому косинусу

[Хорхе]

Но далеко не она одна. Вообще задача никакая, потому что видя $\sqrt{1-x^2}$, каждый подумает о синусе, а видя $\sqrt{x^2+1}$ -- o sh... (простите за каламбур).

[Mega Sirius12]

Цитата:

Но далеко не она одна

одна,только при икс будут разные константы.

Цитата:

Вообще задача никакая, потому что видя $\sqrt{1-x^2}$, каждый подумает о синусе, а видя $\sqrt{x^2-1}$ -- o sh... (простите за каламбур)

я так и знал.
как же по-хитрее замаскировать -то?

[Хорхе]

Mega Sirius12 в сообщении #506275 писал(а):

Цитата:

Но далеко не она одна

одна,только при икс будут разные константы.

Ваше заблуждение, судя по всему, искреннее. Вы вообще про уравнение Коши слышали, хоть краем уха?

[Mega Sirius12]

слышал, кажись я не так замутил с предельным переходом

-- 21.11.2011, 21:36 --

надо еще наложить ограничение на непрерывность функций-во!