Исследование сходимости интеграла.

[Peek-A-Boo]

Помогите пожалуйста исследовать следующий интеграл на абсолютную и условную сходимость:
\int_{0}^{1}\frac{\sin{\left(\frac{1}{x}\right)}dx}{x^2+\sqrt{x^3}+x^2\cos{\left(\frac{1}{x}\right)}}
Получилось лишь доказать, что интеграл не сходится абсолютно - заменой $t=\frac{1}{x}$ получаем подынтегральную функцию, эквивалентную $\frac{|\sin{t}|}{\sqrt{t}}$, интеграл от которой расходится по критерию Коши.

[svv]

Какой интеграл у Вас получился после замены?

[Peek-A-Boo]

После замены получается:
$\int_{1}^{+inf}\frac{\sin{t}dt}{1+\cos{t}+\sqrt{t}}$

[svv]

$\int\limits_1^{+\infty}\frac{\sin{t}\;dt}{1+\cos{t}+\sqrt{t}}=\int\limits_1^{+\infty} f(t)\; g(t)\; dt$,
где $f(t)=\sin t$, $g(t)=\frac 1 {1+\cos{t}+\sqrt{t}}$.
Тогда для функций $f(t)$, $g(t)$ на $[1, +\infty[$ выполнены условия признака Абеля-Дирихле (какие?)

[Peek-A-Boo]

svv
Но $g(t)$ же не монотонна.

[svv]

Да, виноват.

[ewert]

$\frac{\sin t}{1+\cos t+\sqrt t}=\frac{\sin t}{\sqrt t}\big(1-t^{-1/2}(1+\cos t)+O(t^{-1})\big)=$

$=\frac{\sin t}{\sqrt t}-\frac{\sin t}{ t}-\frac{\sin t\cos t}{t}+O(t^{-3/2}).$

И первые три интеграла откровенно сходятся по признаку Дирихле.

[Peek-A-Boo]

Большое спасибо.