Подскажите какие это функции (определить по ряду Тейлора)

[computer]

Подскажите пожалуйста как называются функции из семейства:
$1-{x^4\over4!}+{x^8\over8!}-{x^{12}\over12!}...$
$x-{x^5\over5!}+{x^9\over9!}-{x^{13}\over13!}...$
${x^2\over2!}-{x^6\over6!}+{x^{10}\over10!}-{x^{14}\over14!}...$
${x^3\over3!}-{x^7\over7!}+{x^{11}\over11!}-{x^{15}\over15!}...$
то есть по каким ключевым словам можно найти информацию.Огромное спасибо.

[Circiter]

Какие-то степенные ряды (типа Тейлора), т.е., ХЗ, но может в oeis'е попытаться искать порождаемые этими формулами последовательности чисел? Или в обратных калькуляторах...

[bot]

Начну лучше с последней - это $\frac12(\sh x - \sin x)$. Все остальные из неё.

Upd. Лажу написал. Через комплекснозначные надо идти или попросту дифур решить y''''+y=0 с соответствующими условиями в нуле.

[ewert]

Все -- полусуммы или полуразности тригонометрического и гиперболического синуса или косинуса; как раз четыре варианта и выходит. Только надо ещё аргумент на корень из мнимой единички домножить и потом маленько попреобразовывать. Например:

$\frac12(\sin x+\sh x)=x+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^9}{9!}+\frac{x^{13}}{13!}+\dots;$

$\frac12(\sin\frac{x(1+i)}{\sqrt2}+\sh\frac{x(1+i)}{\sqrt2})=\frac{1+i}{\sqrt2}(x-\frac{x^5}{5!}+\frac{x^9}{9!}-\frac{x^{13}}{13!}+\dots);$

$x-\frac{x^5}{5!}+\frac{x^9}{9!}-\frac{x^{13}}{13!}+\dots=$

$=\frac{1-i}{2\sqrt2}(\sin\frac{x}{\sqrt2}\ch\frac{x}{\sqrt2}+i\cos\frac{x}{\sqrt2}\sh\frac{x}{\sqrt2}+\sh\frac{x}{\sqrt2}\cos\frac{x}{\sqrt2}+i\ch\frac{x}{\sqrt2}\sin\frac{x}{\sqrt2})=$

$=\frac{1}{\sqrt2}(\sin\frac{x}{\sqrt2}\ch\frac{x}{\sqrt2}+\cos\frac{x}{\sqrt2}\sh\frac{x}{\sqrt2}).$