Абсурднось доказтельства теоремы Геделя о неполноте

[LaTeXScience]

Вот в теореме Геделя мы доказываем неполноту какой-то достаточно выразительной теории $T$. Для этого мы нумеруем формулы и доказательства этой теории. А потом оперируем этими номерами, как объектами теории $T$. А, собственно, что нам дает право это делать? Ведь, по сути, это означает, что мы смешиваем теорию с метатеорией. Ведь эти номера - это объекты метатеории. То есть, например, число 5, означающее номер какой-то формулы $F$ теории $T$, и число 5, которое есть объект теории $T$, -- это же ведь разные вещи. Если поставить перед каждым числом метатеории спереди черточку (|5, например), чтобы четко отделять числа теории от чисел метатеории, то мы уже не сможем провести доказательство теоремы Геделя, используя нумерацию формул.
Так может теорема Геделя о неполноте неверна?

[Xaositect]

Вы пропустили тот кусок доказательства, где с помощью рекурсивных функций или как-нибудь еще внутри теории кодируются доказательства и развивается метатеория для произвольных рекурсивно перечислимых теорий.

[LaTeXScience]

Xaositect в сообщении #506030 писал(а):

Вы пропустили тот кусок доказательства, где [...] внутри теории кодируются доказательства

Что значит "внутри"? Там же просто однозначно нумеруются формулы и доказательства теории, я пропустил доказательство того, что подобную нумерацию можно провести. Ну и что?

Xaositect в сообщении #506030 писал(а):

развивается метатеория для произвольных рекурсивно перечислимых теорий.

Я не понимаю о чем Вы. Я смотрел вот эту лекцию http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=123, там ничего такого вроде не было. Вы можете прямо сказать, где я неправ, если я неправ?

[epros]

LaTeXScience в сообщении #506028 писал(а):

Ведь эти номера - это объекты метатеории.

Нет, номера всегда были и остаются объектами арифметики, т.е. что они означают в метатеории совершенно неважно, теория оперирует только номерами - арифметическими объектами.

[LaTeXScience]

epros в сообщении #506113 писал(а):

Нет, номера всегда были и остаются объектами арифметики, т.е. что они означают в метатеории совершенно неважно, теория оперирует только номерами - арифметическими объектами.

Ну если так рассуждать, то тогда, например, все множества - это объекты теории множеств. Тогда получается, что, например, множество номеров всех формул теории множеств - это объект теории множеств. Что не верно. Нельзя так делать. Если непонятно почему так, то посмотрите, например, вот этот топик http://dxdy.ru/topic47316.html.

[epros]

LaTeXScience в сообщении #506470 писал(а):

все множества - это объекты теории множеств

Надо же, и это Вас удивляет?

Вообще, причём тут множества? Речь в теореме Гёделя о теории, которая умеет оперировать натуральными числами (разлагать их на простые сомножители). Больше от неё ничего не требуется.

[LaTeXScience]

epros в сообщении #506492 писал(а):

Вообще, причём тут множества?

Я же сказал например.

epros в сообщении #506492 писал(а):

Надо же, и это Вас удивляет?

Меня это не удивляет, это просто не верно. См.

Someone в сообщении #461988 писал(а):

Вполне допустимо использовать арифметику как метатеорию для арифметики или теорию множеств как метатеорию для теории множеств, но нужно помнить, что метатеория и предметная теория - это разные теории, даже если они одинаково называются и имеют "одинаковые" наборы аксиом.

Таким образом, мы должны различать числа (или множества) метатеории, от чисел (множеств) описываемой теории.
Кстати,

Someone в сообщении #462174 писал(а):

Попытка совместить теорию и метатеорию легко может привести к противоречиям.

К чему, собственно, использование геделевской нумерации (в частности, в доказательстве теоремы Геделя о неполноте) и приводит (получаем формулу, которая выражает свою недоказуемость -- парадокс лжеца).

[epros]

Вы привели совершенно верные высказывания Someone, однако сделали из них совершенно неверные выводы. Геделевская нумерация ни к каким противоречиям не приводит и теорию с метатеорией никоим образом не смешивает. Гёделевское неразрешимое утверждение на самом деле является арифметической формулой, которая читается примерно так: "Не существует натурального числа, удовлетворяющего ...", - и далее идёт некое арифметическое выражение. Где здесь смешивание теории с метатеорией? И где здесь противоречие? Такого числа действительно не существует. Но доказать это в теории невозможно (и проверить "непосредственно", перебрав ВСЕ натуральные числа, как Вы понимаете, тоже невозможно).