62 Киевская городская олимпиада школьников 2007

[neo66]

RIP писал(а):

Может, начнем выкладывать решения
Неравенство

$$a+b\geqslant\frac{2\sqrt{ab(1+a)(1+b)}}{1+\sqrt{ab}}$$

эквивалентно очевидному

$$(\sqrt a-\sqrt b)^2\geqslant\frac{2\sqrt{ab}(\sqrt a-\sqrt b)^2}{(1+\sqrt{ab})(1+\sqrt{ab}+\sqrt{(1+a)(1+b)})}$$

Последнее неравенство, конечно, очевидно. А вот эквивалентность - нет.

[RIP]

Из обеих частей неравенства я вычел $2\sqrt{ab}$

[Supermaxx]

Capella писал(а):

8 класс

Задача 2

Первый толстяк - 964 страница, второй толстяк - 875 страница, третий толстяк - 123 страница. Таим образом самый толстый кусок в 752 страницы.

Capella, ты не прав Там ответ 744: все номера страниц должны быть четными!

Добавлено спустя 2 минуты 13 секунд:

Там жюри по классам ходили, обьясняли нумерации страниц.

Добавлено спустя 4 минуты 24 секунды:

И на апелляции было решение 744 страницы.

[Capella]

Supermaxx

Да, мы это уже обсуждали, со всеми выкладками (чётные левосторонии страницы, нечётные левосторонии страницы, общее число страниц - чётное или нет и т.д.). Одним из ответов было получено 744 (по предложению Macavity). Смотрите выше...

[Macavity]

dm писал(а):

LXII Киевская городская олимпиада юных математиков
21.01.2007

11 класс

5. На плоскости отмечены точки $A$ и $P$. Рассмотрим все такие точки $B$, $C$ этой плоскости, что $\angle ABP=\angle MAB$ и $\angle ACP=\angle MAC$, где $M$ - середина отрезка $BC$. Докажите, что все описанные окружности около треугольника $ABC$ для разных точек $B$ и $C$ проходят через некоторую фиксированную точку, отличную от точки $A$.

Из условия ($\angle ABP=\angle MAB$) следует, что (AM) параллельно (BP).
Теперь предположим,что (CP) пересекается с (AM) в точке O. Тогда из второго исходного условия ($\angle ACP=\angle MAC$) следует, что отрезки :|OA|=|OC|.
Далее, так как (AM) параллельно (BP) и по исходному условию |MB|=|MC|, то по теореме Фалеса (для угла $\angle PCB$) следует, что |OC|=|OP|.
И таким образом |OA|=|OC|=|OP|.

А вот, что непонятно, это как в последнее равенство добавить |OB|: |OA|=|OC|=|OP|=|OB|.

Может у кого-нибудь есть идеи?

[dm]

Уже можно давать линк на решения?

[RIP]

dm писал(а):

Уже можно давать линк на решения?

Я не против.

[dm]

Решения: http://infostore.org/info/2410360/gorod_olymp2.rar
102 KB .DJVU.RAR (на украинском)

Окончательные результаты: http://matholymp.kiev.ua/index.php?do=d ... &action=dl
64 KB .XLS.RAR
Места: http://matholymp.kiev.ua/news,1,12.htm

Голосование "Понравилась ли вам городская олимпиада в этом году?"
http://matholymp.kiev.ua/showpoll,2,1,1.htm

[photon]

dm писал(а):

Места: http://matholymp.kiev.ua/news,1,12.htm

Я смотрю, 171 в лидерах... А что это оттуда так много участников?... Вопрос риторический

[Macavity]

photon писал(а):

dm писал(а):

Места: http://matholymp.kiev.ua/news,1,12.htm

Я смотрю, 171 в лидерах... А что это оттуда так много участников?... Вопрос риторический

В лидерах, так они себя кажется и называют - лицей "Лидер".
Ребята хорошие, вот только при поступлении бывает прокалываются.. на языке, литературе...

Оффтопик о языках перенесен сюда.
Весь файл мне переводить было лень. Если кому-то в решениях что-то непонятно, напишите в топике - переведем. (dm)