Эквивалентность

[samuil]

Нужно доказать, что при $x\to 0$

$\left.\sqrt{x+\left.\sqrt{x+\left.\sqrt{x}\right.}\right.}\right.}\right.}\sim \sqrt[8]{x}$

Пока пришла только идея разложить в ряд Тейлора в нуле, но это как-то ужасно будет выглядеть...

По сути нужно сосчитать предел (насколько я понимаю) и убедиться, что он равен $1$

$\lim\limits_{x\to 0}{\left.\sqrt{x+\left.\sqrt{x+\left.\sqrt{x}\right.}\right.}\right.}\right.}/{\sqrt[8]{x}}}$

А с какого боку к нему подойти?!!

[ИСН]

$\sqrt[8]x=t...$

[Joker_vD]

ИСН
Ну не знаю. Я бы возвел два раза в квадрат и получил бы единицу....

[samuil]

ИСН в сообщении #505957 писал(а):

$\sqrt[8]x=t...$

Ок, попробую так

$\sqrt[8]x=t...$ => $x=t^8$

$\sqrt{x}=\sqrt{t^8}=t^4$

$\sqrt{x+\sqrt{x}}=\sqrt{t^8+t^4}=\sqrt{t^4(t^4+1)}=t^2\cdot \sqrt{t^4+1}$

$\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}=\sqrt{t^8+\sqrt{t^2\cdot \sqrt{t^4+1}}}}=\sqrt{t^8+ t\sqrt[4]{t^4+1}}}}=\sqrt{t(t^7+ \sqrt[4]{t^4+1})}}}$

А как быть дальше?!

[Shadow]

(Оффтоп)

А чему равно
$\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt...}}}$
и т.д до бесконечности. К задаче ТС отношение не имеет

[ewert]

samuil в сообщении #505963 писал(а):

А как быть дальше?!

А никак. Вы шибко вумны. В то время как каждое предыдущее (слева) слагаемое заведомо слабее следующего (справа), из чего всё и следует.

[samuil]

$\sqrt{t^8+\sqrt{t^2\cdot \sqrt{t^4+1}}}}\sim t$

$t^8+\sqrt{t^2\cdot \sqrt{t^4+1}}}\sim t^2$

Что-то странное...

[svv]

Вы когда переходили от третьей строки к четвертой, то извлекли корень из $t^2 \sqrt{t^4+1}$, а этого уже не надо было делать, он уже извлечен.

Вы хотели так:
$\sqrt{t^8+\sqrt{t^8+\sqrt{t^8}}}=\sqrt{t^8+\sqrt{t^8+t^4}}=\sqrt{t^8+t^2\sqrt{t^4+1}}=t \sqrt{t^6+\sqrt{t^4+1}}$
Предел второго сомножителя при $t\to 0$ равен $1$.

[ewert]

samuil в сообщении #505971 писал(а):

$\sqrt{t^8+\sqrt{t^2\cdot \sqrt{t^4+1}}}}\sim t$

С какой стати-то?... (даже безотносительно к знакам)

[samuil]

А, точно, понятно, ошибся!!! Ок, спасибо!