Предел справа

[samuil]

Дана функция $f(x)=\sqrt{\dfrac{1-\cos{\pi x}}{4-x^2}}$

Найти предел при $x\to 2+o$ Не удалось избавиться от неопределенности

$$\lim\limits_{x\to 2+o}f(x)=\lim\limits_{x\to 2+o}\sqrt{\dfrac{1-\cos{\pi x}}{4-x^2}}= \sqrt{\dfrac{\lim\limits_{x\to 2+o}(1-\cos{\pi x})}{\lim\limits_{x\to 2+o}(4-x^2)}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$$

$b=\lim\limits_{x\to 2+o} (4-x^2)= 4-(2+o)^2=4-(4+4o+o^2)=-4o-o^2<0$

$a=\lim\limits_{x\to 2+o}(1-\cos{\pi x})=1-\cos(2\pi+\pi\cdot o)=1-\cos{(2\pi)}\cdot \cos{(\pi\cdot o)}=1-1=0$

$$\lim\limits_{x\to 2+o}f(x)=\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\sqrt{\dfrac{0}{-4o-o^2}$

Вообще не понятно что дальше....(((

[NiGHTeR]

А такие вещи, как эквивалентность и ряды тейлора Вам знакомы?

[ewert]

samuil в сообщении #505902 писал(а):

Вообще не понятно что дальше....(((

Да никуда. Изначально следует сделать очевидную замену переменной так, чтоб новая переменная стремилась к нулю, после чего всё станет достаточно очевидным.

[samuil]

NiGHTeR в сообщении #505904 писал(а):

А такие вещи, как эквивалентность и ряды тейлора Вам знакомы?

Да!!! Сейчас попробую разложить...

-- 20.11.2011, 23:47 --

ewert в сообщении #505913 писал(а):

Да никуда. Изначально следует сделать очевидную замену переменной так, чтоб новая переменная стремилась к нулю, после чего всё станет достаточно очевидным.

Ок, спасибо, сделаю замену, а потом в ряд разложу

[ewert]

samuil в сообщении #505915 писал(а):

сделаю замену, а потом в ряд разложу

Да там уж не понадобится никаких разложений в ряд, там только первый замечательный предел (с учётом, конечно, того, с какой стороны мы к нулю подходим -- и, соответственно, как раскрывается модуль). Тем более что и предел-то будет откровенно бесконечным; вопрос лишь, какого знака, а он (знак) тривиален.

[samuil]

Лучше, наверное, чтобы $t \to 0+o$

Тогда замена $t=2-x$ , $x=2-t$

$f(t)=\sqrt{\dfrac{1-\cos{\pi t}}{t\cdot (4-t)}$

Пришла идея воспользоваться эквивалентностью...

$1-\cos{\pi t}\sim \dfrac{\pi^2t^2}{2}$ при $t\to 0+o$

$$\lim\limits_{t\to 0+o}f(t)=\lim\limits_{t\to 0+o}\sqrt{\dfrac{1-\cos{\pi t}}{t\cdot (4-t)}}= \lim\limits_{t\to 0+o}\sqrt{\dfrac{\pi^2t^2}{2t\cdot (4-t)}}=\lim\limits_{t\to 0+o}\sqrt{\dfrac{\pi^2t}{2\cdot ({4}-t)}}=\sqrt{0/8}=0$$

-- 21.11.2011, 00:02 --

Ой, почему-то не получилась бесконечность!

[ewert]

samuil в сообщении #505919 писал(а):

Ой, почему-то не получилась бесконечность!

Прошу прощения; это у меня глюк. Разумеется, плюс ноль.

-- Пн ноя 21, 2011 00:13:07 --

тьфу ты; да он (предел) ещё и некорректен. Вот что значит скользить по поверхностям.

[samuil]

ewert в сообщении #505926 писал(а):

Прошу прощения; это у меня глюк. Разумеется, плюс ноль.

-- Пн ноя 21, 2011 00:13:07 --

тьфу ты; да он (предел) ещё и некорректен. Вот что значит скользить по поверхностям.

А что значит - некорректен?!

[svv]

Да-да, что значит -- некорректен?
Он, правда, не справа, а слева (до замены).

[samuil]

svv в сообщении #505939 писал(а):

Да-да, что значит -- некорректен?
Он, правда, не справа, а слева (до замены).

Да, точно, получается слева от $t=0$, но справа от $x=2$) Спасибо за то, что поправили!

Впрочем, $f(2-0)=f(2+0)=0$ тогда...

[svv]

Нет-нет, наоборот.

$$\lim\limits_{x\to 2-0}\sqrt{\frac{1-\cos{\pi x}}{4-x^2}}=\lim\limits_{t\to +0}\sqrt{\frac{1-\cos{\pi t}}{t (4-t)}}=0$$

[samuil]

svv в сообщении #505945 писал(а):

Нет-нет, наоборот.

$$\lim\limits_{x\to 2-0}\sqrt{\frac{1-\cos{\pi x}}{4-x^2}}=\lim\limits_{t\to +0}\sqrt{\frac{1-\cos{\pi t}}{t (4-t)}}=0$$

А это разве неверно?

$$\lim\limits_{x\to 2+0}\sqrt{\frac{1-\cos{\pi x}}{4-x^2}}=\lim\limits_{t\to -0}\sqrt{\frac{1-\cos{\pi t}}{t (4-t)}}=0$$

[svv]

Функция $1-\cos \pi x$ вообще неотрицательна.
Чтобы подкоренное выражение было положительным, знаменатель $4-x^2$ также должен быть положительным. А это при $-2<x<2$, или при $0<t<4$.

[samuil]

svv в сообщении #505954 писал(а):

Функция $1-\cos \pi x$ вообще неотрицательна.
Чтобы подкоренное выражение было положительным, знаменатель $4-x^2$ также должен быть положительным. А это лишь при $-2<x<2$.

То есть предел справа не существует?

[svv]

В точке $x=2$ -- нет, не существует. Функция $f(x)$ не определена при $x\geqslant 2$.
Не верите -- попробуйте посчитать, скажем, $f(2,1)$.