O-большое

[samuil]

Нужно доказать, что $3x^2-x^3=O(x^2)$

Я не очень понимаю -- как...

Попытка:

Пользуясь определением

$f=\operatorname O(g)$ при $x\to x_0$, если существует такая константа $C>0$, что для всех $x$ из некоторой окрестности точки $x_0$ имеет место неравенство $|f(x)| \leqslant C |g(x)|$;

Предполагаю, что нужно искать $C$

Допустим, что $f(x)=3x^2-x^3$ ; $g(x)=x^2$

Тогда

$|3x^2-x^3|<C\cdot |x^2|$

$|3-x|<C$ , $x\to 0$

А дальше - не понятно.

А что можно дальше сделать? Ясно, что при $x\to 0$ у нас $|3-x|\to 3$, значит мы можем взять $C=4$, чтобы выполнялось неравенство $|3-x|<4$. Но как это по-человечески записать?

[ewert]

Берите тупо окрестность единичного "радиуса" -- ведь неважно же, что за окрестность, лишь бы хоть для какой получилось.

[samuil]

Ок, спасибо, понятно!!! А вот этот переход -- справедлив?! Мы ведь поделили на $x^2$. Ничего не потеряли при этом..?(в школе нельзя так было делать, так как терялось решение...)?

$|3x^2-x^3|<C\cdot |x^2|$

$|3-x|<C$ , $x\to 0$

[ewert]

samuil в сообщении #505883 писал(а):

Ничего не потеряли при этом..?

Нет, естественно, ибо все подобные оценки подразумеваются в выколотой окрестности.

[samuil]

ewert в сообщении #505888 писал(а):

samuil в сообщении #505883 писал(а):

Ничего не потеряли при этом..?

Нет, естественно, ибо все подобные оценки подразумеваются в выколотой окрестности.

Ммм, понятно, спасибо!