Вписать пирамиду в куб...

[Lunatik]

Привет всем!) Как-то на днях мне в голову бумкнула одна задача, которую я не могу решить уже... ну добрых полчаса. Вот она:

"Назовём треугольную пирамиду помещённой в куб, если каждая его вершина находится внутри куба, или на его поверхности (на вершине, на ребре, на грани). Найдите помещённую в куб треугольную пирамиду наибольшего объёма, найдите его объём и докажите, что он максимальный. Объём куба принять за 1."

Я знаю, как строго доказать то, что все вершинки этой пирамиды должны лежать на поверхности куба, но дальше застопорился, ибо на этом вся строгость оканчивается. Что вы думаете Как решать дальше

[ewert]

Во-первых, можно считать, что в оптимальном положении все три вершины лежат на рёбрах: если некоторая вершина лежит внутри грани, то при подходящем скольжении этой вершины вдоль грани объём можно будет или увеличить, или (если та грань параллельна основанию пирамиды) по крайней мере не изменить. Во-вторых, по тем же причинам можно считать, что все четыре вершины являются вершинами куба. Далее -- просто перебор.

[Lunatik]

ewert, а можете поподробнее? Просто представляя движение вершинок, я могу только "вдвинуть" их на поверхность, не более... при остальном движении у меня изменяется и площадь и высота, причём в противоположные стороны(((... А вот если действительно окажется, что макс. объём будет тогда, когда все вершины пирамиды будут в вершинах куба, то задачка будет действительно тривиальной).

[ewert]

Lunatik в сообщении #505635 писал(а):

а можете поподробнее?

Предположим, что некоторая вершинка лежит внутри грани. Эта грань либо параллельна основанию пирамиды, лежащему против этой вершины, либо нет. Если не параллельна, то при движении этой вершины вдоль грани в соответствующем направлении вершина будет удаляться от основания и, следовательно, объём будет увеличиваться (основание-то не меняется), т. е. такая конфигурация не оптимальна. Если же параллельна, то при этом движении объём не меняется и, следовательно, эту вершину можно вывести на ребро. Потом то же самое можно проделать с каждой из остальных трех вершин.

Это означает, что среди оптимальных конфигураций заведомо будут такие, в которых все три вершины лежат на рёбрах, т.е. для любой оптимальной конфигурации найдётся не меньшая по объёму конфигурация с вершинами на рёбрах.

[Lunatik]

ewert, блин, я лох). Спасибо!