Помогите найти предел функции

[Maximalistka]

Помогите, пожалуйста, посчитать предел:
$\lim(x \to \pi/4)((1+\sin(\pi/4-x)\sin2x)/(1+1/2\cos2x))^{(\ctg(x-\pi/4))^{3}}$
Долгими преобразованиями смогла свести это ко второму замечательному пределу вида $\lim(x \to \pi/4)(1+\sin(\pi/4-x))^{(\ctg(x-\pi/4))^{3}}$
в итоге задача сводится к нахождению $e^{\lim(x \to \pi/4)(\ctg(x-\pi/4))^{3}\sin(\pi/4-x)}$
И все, на этом месте я вхожу в полное замешательство, спасайте

[AKM]

От Вашей формулы ломаются глазки.

$$\lim_{x \to \pi/4}\left[\frac{1+\sin(\pi/4-x)\sin2x}{1+1/2\cos2x}\right]^{[\ctg(x-\pi/4)]^{3}}$$

Так?

[Maximalistka]

Ага, именно так. Простите за такие иероглифы, первый блин видимо комом


Для первого блина это было слишком сложное упражнение. //AKM

[phys]

(Оффтоп)

АКМ первыйнах. Чуть не успел. Похоже на то, у меня вроде такого получилось.

Используйте эквиваленты синуса, косинуса, тангенса, и увидите что все сведется ко второму замечательному.
Напоминаю, что:
$\sin(f) \approx f$
\cos(f) \approx 1 - f^2
\ctg(f) = \frac{1}{\tg(f)} \approx \frac 1 f
Все эквив. при $f \rightarrow 0$

[Алексей К.]

Замена $t=x-\frac{\pi}4$ упростит выражения, работать над этим всем будет легче.

[ewert]

Maximalistka в сообщении #505563 писал(а):

Долгими преобразованиями смогла свести это ко второму замечательному пределу вида $\lim(x \to \pi/4)(1+\sin(\pi/4-x))^{(\ctg(x-\pi/4))^{3}}$

Ой напрасно Вы это смогли. Во-первых, это неверно. Во-вторых, начинать безусловно нужно с замены переменной $t=\frac{\pi}{4}-x$, после которой никаких "долгих преобразований" уже не требуется -- выражение в скобках представляется как единица плюс нечто маленькое довольно очевидным образом.

-- Вс ноя 20, 2011 12:23:33 --

phys в сообщении #505572 писал(а):

$\cos(f) \approx 1 - f^2$

Да?
(и, кроме того, это не понадобится -- достаточно будет школьной тригонометрии)

[phys]

ewert в сообщении #505578 писал(а):

phys в сообщении #505572 писал(а):

$\cos(f) \approx 1 - f^2$

Да?
(и, кроме того, это не понадобится -- достаточно будет школьной тригонометрии)

Да вроде да, в окрестностях нулей $f(x)$

[ewert]

phys в сообщении #505585 писал(а):

Да вроде да, в окрестностях нулей $f(x)$

да вроде нет

[bot]

(Оффтоп)

phys в сообщении #505585 писал(а):

Да вроде да

На эту тему (правда это о кинетической энергии) у физиков анекдот есть: хорошо, что пополам!

[Maximalistka]

Цитата:

ewert в сообщении #505578 писал(а):

Maximalistka в сообщении #505563 писал(а):

Долгими преобразованиями смогла свести это ко второму замечательному пределу вида $\lim(x \to \pi/4)(1+\sin(\pi/4-x))^{(\ctg(x-\pi/4))^{3}}$

Ой напрасно Вы это смогли. Во-первых, это неверно. Во-вторых, начинать безусловно нужно с замены переменной $t=\frac{\pi}{4}-x$, после которой никаких "долгих преобразований" уже не требуется -- выражение в скобках представляется как единица плюс нечто маленькое довольно очевидным образом.

А что нам дает замена переменной? по-моему, это только формальность. Если я правильно поняла, решение сводится к нахождению предела от 1 в степени $(\ctg(x-\pi/4))^{3}$? Или я все-таки неправильно поняла?

[ewert]

Maximalistka в сообщении #505780 писал(а):

Или я все-таки неправильно поняла?

Неправильно. Но объяснять, что именно неправильно, трудно, пока Вы явно (и без ошибок) не выпишите преобразованное выражение. А вот для этого как раз и нужна та замена, иначе Вы так и будете путаться в ненужных технических деталях.

[Mega Sirius12]

мне кажется, выйдет ноль
айс?

[Maximalistka]

ну в знаменателе cos2x при $x\to\pi/4$ обращается в 0 и остается единица. В числителе sin2x обращается в 1. Cледовательно, получаем $(1+\sin(t))^{(\ctg(-t))^{3}}$

[Mega Sirius12]

нет, у вас стремление только, такую замену делать незя
Пишите заново

[ewert]

Maximalistka в сообщении #505797 писал(а):

ну в знаменателе cos2x при $x\to\pi/4$ обращается в 0 и остается единица. В числителе sin2x обращается в 1.

Вы обращаетесь с этим пределом недобросовестно. А ведь сколько раз уже было прошено -- честно выписать то, что получается в скобках, и лишь потом начинать гадания на кофейной гуще.