Можно ли обобщить гипотезу Пуанкаре?

[g______d]

Да, спасибо, я не учел возможной некомпактности прообраза.

Собственно, даже утверждение про линию уровня при малом $a$ было неверным --- в окрестности нуля-то оно так, но ничто не мешает, чтобы равенство $V(x)=a$ выполнялось где-то еще. Ну или мешает, но моего рассуждения явно недостаточно.

[alcoholist]

shwedka в сообщении #505439 писал(а):

В связи с этим, вспоминаю задачу, обсуждавшуюся на кокой-то студенческой олимпиаде: если гладкая функция двух переменных имеет единственную критическую точку и эта точка - минимум, то верно ли, что функция ограничена снизу. Ответ- неверно.

да-да, возьмем седло и сделаем аккуратную вмятинку в единственной критической точке

[scwec]

Хочу добавить к сказанному, что лемма Морса справедлива в окрестности только невырожденной критическрй точки. Гессиан функции в ней должен быть отличен от нуля. У нас в последних условиях это не зафиксировано.
Вместо этого аналитичность и положительно-определенная форма(не обязательно квадратичная) начала разложения. Да еще ведь надо дальше проводить доказательство.
В принципе можно было потребовать невырожденности нуля, и на этом успокоиться. При положительной определенности $V$, в окрестности нуля поверхности уровня - сферы.

[shwedka]

alcoholist в сообщении #505444 писал(а):

shwedka в сообщении #505439 писал(а):

В связи с этим, вспоминаю задачу, обсуждавшуюся на кокой-то студенческой олимпиаде: если гладкая функция двух переменных имеет единственную критическую точку и эта точка - минимум, то верно ли, что функция ограничена снизу. Ответ- неверно.

да-да, возьмем седло и сделаем аккуратную вмятинку в единственной критической точке

А Вы сможете доказать, что после этого останется только одна критическая точка?

[alcoholist]

да, конечно, вырежем круглую дырку цилиндром, возьмем конус над краем выреза и сгладим

максимумов на крае выреза два (самые "высокие точки"), но по ортогональному направлению (к краю... в этих точках) касательная имеет отрицательную проекцию на вертикальную ось

[g______d]

alcoholist в сообщении #505459 писал(а):

максимумов на крае выреза два (самые "высокие точки"), но по ортогональному направлению (к краю... в этих точках) касательная имеет отрицательную проекцию на вертикальную ось

Если я правильно понял конструкцию, то там есть 2 седла. В минимумах края выреза.

[scwec]

У меня в последнем сообщении гессиан функции в критической точке должен быть невырожденным(в тексте отличен от нуля).
Издержки. Кто о чем.

[scwec]

Насчет седла $f(x,y)=x^3-3xy^2$- обезьяне седло. И далее насчет вмятины.Вот думаю, откуда он это знает?