Уравнение в пространстве C[0,1]

[purser]

Доказать, что уравнение имеет единственное решение в пространстве C[0,1]:
$f(x)+\int_{0}^{1}\frac{f(t)dt}{f^2(t)+\log(1+x+t)+2}=\log(1+x)$, $f\in{C[0,1]}$

Я рассматриваю оператор $F=\log(1+x)-\int_{0}^{1}\frac{f(t)dt}{f^2(t)+\log(1+x+t)+2}$, $F: {C[0,1]}\to{C[0,1]}$
Если показать, что F является сжимающим отображением, то есть если $\exists \lambda\in(0,1): \rho(F(x),F(y))\leqslant\lambda\rho(x,y) \forall x,y \in X(\rho)$, где $X(\rho)$- полное метрическое пространство, то можно применить теорему о единственной неподвижной точке $f(x)$, которая и будет решением исходного уравнения.
С учетом $\|f\|_c=\max_{x\in[0,1]}(f(x))$ имеем
$\|\int_{0}^{1}\frac{f(t)dt}{f^2(t)+\log(1+x+t)+2}\|\leqslant1\cdot\max_{x\in[0,1]}(\frac{f(t)}{f^2(t)+\log(1+x+t)+2})=\frac{\|f(t)\|}{0+0+2}=\frac{\|f(t)\|}{2}$

$\rho(F(f_1),F(f_2))=\|\log(1+x)-\int_{0}^{1}\frac{f_1(t)}{f_1^2(t)+\log(1+x+t)+2}-\log(1+x)+\int_{0}^{1}\frac{f_2(t)dt}{f_2^2(t)+\log(1+x+t)+2}\|=\|\int_{0}^{1}\frac{f_1(t)dt}{f_1^2(t)+\log(1+x+t)+2}-\int_{0}^{1}\frac{f_2(t)dt}{f_2^2(t)+\log(1+x+t)+2}\|\leqslant\frac{\|f_1\|}{2}+\frac{\|f_2\|}{2}$
Теперь исходя из исходного уравнения можно получить верхние оценки (здесь f - решение уравнения):
$\|f\|\leqslant2\log2$, $\rho(f_1,f_2)\leqslant4\log2$,$\rho(F(f_1),F(f_2))\leqslant2\log2$
Как получить оценку $ \rho(F(x),F(y))\leqslant\lambda\rho(x,y) \forall x,y \in X(\rho),\lambda\in(0,1)$ ? Прошу помощи.

[Полосин]

Вы как-то странно определили отображение: обычно правую часть не включают в определение. Просто рассмотрите интегральный оператор, он сжимающий в этом пространстве, а стало быть, ряд Неймана сходится.

[purser]

Почему странно ? В таком виде оператор, имея единственную неподвижную точку превращается в исходное уравнение $F(f)=f$.
Мне не очевидно, что оператор сжимающий. Как это показать?

[Oleg Zubelevich]

Полосин в сообщении #504865 писал(а):

Вы как-то странно определили отображение: обычно правую часть не включают в определение. Просто рассмотрите интегральный оператор, он сжимающий в этом пространстве, а стало быть, ряд Неймана сходится.

про ряд Неймана, пожалуйста, поподробнее, в свете нелинейности задачи

[Полосин]

Виноват, линейный бес попутал.
Обозначим $L=\ln(1+x+t)+2\ge2$, тогда
$\rho(F(f_1),F(f_2))=\int\limits_0^1\left(\dfrac{f_1}{f_1^2+L}-\dfrac{f_2}{f_2^2+L}\right)dt=\int\limits_0^1\dfrac{(f_2-f_1)(f_1f_2-L)}{(f_1^2+L)(f_2^2+L)}dt\le\lambda\rho(f_1,f_2)$,
$\lambda=\sup\int\limits_0^1\dfrac{|f_1||f_2|+L}{(f_1^2+L)(f_2^2+L)}dt\le \sup\int\limits_0^1\dfrac{f_1^2+f_2^2+2L}{2(f_1^2+L)(f_2^2+L)}dt\le\int\limits_0^1\dfrac{dt}{L}\le\dfrac12$.