Алгебра

[nastya2011]

Помогите мне решить, пожалуйста, несколько номеров(
1)Помогите вычислить $Aut(\mathbb{Z}_3 \bigoplus \mathbb{Z}_3 )$
и $Aut(\mathbb{Z}_2 \bigoplus \mathbb{Z}_4 )$
2) Найти все орбиты и стационарные подгруппы для

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 10 & 9 & 4 & 8 & 1 & 3 & 7 & 6 & 2 & 5 \end{pmatrix}$$

ну чтоб найти орбиты надо разбить на произведение циклов и мы получим их) а как найти стационарные подгруппы?(
3)Доказать что существует неабелева группа порядка $57$. Ну понятно, что $57=3\cdot 19$ и $3\equiv1(\mod 19)$
Как тогда доказать что если порядок группы равен $p\cdot q$ и если выполнено $p\equiv1(\mod q)$ , то существует с точностью до изоморфизма ровно одна некоммутативная группа?
Помогите, пожалуйста(((

[Sonic86]

nastya2011 в сообщении #504514 писал(а):

3)Доказать что существует неабелева группа порядка $57$. Ну понятно, что $57=3\cdot 19$ и $3\equiv1(\mod 19)$
Как тогда доказать что если порядок группы равен $p\cdot q$ и если выполнено $p\equiv1(\mod q)$ , то существует с точностью до изоморфизма ровно одна некоммутативная группа?

Думаю, Вы хотели написать $19 \equiv 1 \pmod 3$.
Решение этой задачи есть в книге Каргаполов Мерзляков Основы теории групп, глава Конечные группы и там - силовские подгруппы. По-моему, решение оттуда существенно не упростить, поэтому тут не пишу.

nastya2011 в сообщении #504514 писал(а):

а как найти стационарные подгруппы?(

Думаю, надо по определению: т.е. найти подгруппу $H$, которая не меняется при действии данного элемента. Тоже разлагаем элемент в произведение независимых циклов $\prod (i_1 \ ... \ i_m)$, тогда либо все $i_j \in H$, либо все $i_j \not \in H$.

-- Ср ноя 16, 2011 14:55:54 --

nastya2011 в сообщении #504514 писал(а):

Помогите мне решить, пожалуйста, несколько номеров(
1)Помогите вычислить $Aut(\mathbb{Z}_3 \bigoplus \mathbb{Z}_3 )$
и $Aut(\mathbb{Z}_2 \bigoplus \mathbb{Z}_4 )$

Ну тут все слагаемые прямых сумм циклические, значит можно найти группы автоморфизмов каждого слагаемого и их прямо сложить - это будет подгруппа группы автоморфизмов прямой суммы + еще в 1-м случае слагаемые можно переставить. Потом еще надо подумать - все мы нашли или не все. Пока не знаю, как это

[Null]

nastya2011 в сообщении #504514 писал(а):

1)Помогите вычислить $Aut(\mathbb{Z}_3 \bigoplus \mathbb{Z}_3 )$
и $Aut(\mathbb{Z}_2 \bigoplus \mathbb{Z}_4 )$

Можно просто посмотреть во что переходят $(1,0)$ и $(0,1)$ и выбрать автоморфизмы

[nastya2011]

1) А куда будут переходить $(1,0),(0,1)$ ?(
2)Разбить на циклы, получили $(1 10 5)(2 9)(3 4 8 6)(7)$. И какая подгруппа не будет меняться под действием элементов?
3)Посмотрела учебник Каргаполов, Мерзляков Основы теории групп, глава Конечные группы. Там просто сказано, что "эта формула умножения определяет неабелеву группу порядка $pq$", а объяснения нет( Как получена формула конечная $a^{x} b^{y} a^{z} b^{t} = a^{x+z} b^{yr^{z}+t}$ ? и почему она определяет некоммутативную группу?

[bnovikov]

nastya2011 в сообщении #504878 писал(а):

3)Посмотрела учебник Каргаполов, Мерзляков Основы теории групп, глава Конечные группы. Там просто сказано, что "эта формула умножения определяет неабелеву группу порядка $pq$", а объяснения нет( Как получена формула конечная $a^{x} b^{y} a^{z} b^{t} = a^{x+z} b^{yr^{z}+t}$ ?

Неправда, есть (3-е изд., стр. 101, п.11.2, б)). Разбирайте и спрашивайте конкретно, что непонятно.
Если не нравятся Каргаполов-Мерзляков, возьмите Холла (стр.60).

Цитата:

и почему она определяет некоммутативную группу?

Этого, действительно, нет в книгах. На самом деле нужно "предъявить" конкретную группу с нужными свойствами. Для этого возьмите пары $(x,y)$, где $x\in \mathbb{Z}_p, y\in \mathbb{Z}_q$, задайте умножение по правилу $(x,y)(z,t)=(x+z,yr^{z}+t)$ (т.е. так, как в формуле из книг) и докажите, что получилась группа порядка $pq$.
А образующими у нее являются пары $(1,0)$ и $(0,1)$, для которых нужные соотношения выполняются.

[VAL]

bnovikov в сообщении #504907 писал(а):

nastya2011 в сообщении #504878 писал(а):

и почему она определяет некоммутативную группу?

Этого, действительно, нет в книгах. На самом деле нужно "предъявить" конкретную группу с нужными свойствами. Для этого возьмите пары $(x,y)$, где $x\in \mathbb{Z}_p, y\in \mathbb{Z}_q$, задайте умножение по правилу $(x,y)(z,t)=(x+z,yr^{z}+t)$ (т.е. так, как в формуле из книг) и докажите, что получилась группа порядка $pq$.
А образующими у нее являются пары $(1,0)$ и $(0,1)$, для которых нужные соотношения выполняются.

Еще несколько подходов к построению неабелевой группы порядка $pq$ можно посмотреnь здесь задача ММ149).

[nastya2011]

Помогите разобраться мне с автоморфизмами (номер 1) и со стационарными подгруппами (номер 2). во втором номере я разбила транспозицию циклов, а как по ним найти стационарные подргуппы?
а первый номер что-то совсем неясно( куда будут переходить $(1,0),(0,1)$ ?(

[Sonic86]

nastya2011 в сообщении #505302 писал(а):

во втором номере я разбила транспозицию циклов, а как по ним найти стационарные подргуппы?

Рассмотрите подгруппу $\{ e, (2 \ 9)\}$. Является ли она стационарной подгруппой при действии Вашей подстановки $\pi$? Почему? Как можно обобщить?

nastya2011 в сообщении #505302 писал(а):

а первый номер что-то совсем неясно( куда будут переходить $(1,0),(0,1)$ ?(

Это некоторые образующие. При автоморфизмах образующие переходят в образующие. Значит любой автоморфизм может быть задан его действием на образующих группы. Опишите все такие автоморфизмы и все.