зачем нужна формула Тейлора для многочленов?

[Unconnected]

Объясните пожалуйста, зачем нужна формула Тейлора для многочленов? Я так понял, с помощью нее можно перевести многочлен из вида $ax^{2} + bx$ в вид $a(x-c)^{2} + b(x-c)$. Но - зачем? Доказательство все понял, откуда берется формула и т.п., но вот что даёт этот перевод? В книжке туманно написано, что для какого-то приближенного вычисления корней. Для не-многочленов ещё понятно, представить синус там в линейном виде..

[ewert]

Unconnected в сообщении #504733 писал(а):

но вот что даёт этот перевод?

Неизвестно -- смотря какая цель ставилась. Однако пользу от этого получить можно. Замена переменной (её сдвиг на $c$) для многочлена вполне выгодна, если мы собираемся использовать этот многочлен в окрестности точки $c$. Так вот, пересчитывать исходные коэффициенты многочлена в те, которые получатся после сдвига, по формуле Тейлора несколько проще, чем прямым раскрытием скобок.

[ИСН]

Формула Тейлора не нужна для многочленов. Она для другого.

[Unconnected]

Но, тем не менее, в "Лекциях по алгебре" Фаддеева она выводится именно для многочленов (хотя для других функций такая же формула работает, интересно), и в конце такое послесловие: "Для приближенного вычисления корней полинома бывает нужно вычислять $f(c)$ и $f'(c)$ при значении с, близком к корню. Ясно, что выполнить это проще всего при помощи схемы Хорнера, вычислив по этой схеме два коэффициента разложения $f$ по степеням $x-c$". Как это так можно вычислить корни, непонятно..

[svv]

Если бы у Вас был полином первой степени, и Вы для точки $x=c$ знали бы $f(c)$ и $f'(c)$, было бы понятно, как найти корень?

[Joker_vD]

Unconnected
Методом Ньютона, наверное?

$$x_{n+1}=x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.$$

Конечно, случай с кратными корнями требует особого подхода...

[Евгений Машеров]

Э, прошу прощения, так схема Горнера (или Хорнера) или разложение в ряд Тейлора?
Первое как раз для полиномов, второе для полиномов определено, но малость тривиально.
А что до вычисления корней - то, полагаю, речь идёт о методе Ньютона
$x_{n+1}=x_n- \frac {f(x_n)} {f'(x_n)}$

-- 17 ноя 2011, 13:14 --

(Оффтоп)

Накрытие залпом;)

[Unconnected]

А, вот как.. да, тут есть рядом про метод Ньютона. Всем спасибо -)