Решение системы функциональных уравнений

[VladTK]

Всем доброго здравия.
Столкнулся с задачей решения системы функциональных уравнений для функций $f(x), g(x)$

$$ \left \{ \begin{matrix} f(x)+g(x)=-\frac{a}{b} x\\ f(b-k_1 x)+g(b+k_2 x)=-a \end{matrix}\right $$

где $a,b,k_1,k_2$ - некоторые положительные константы. Что-то как ни верчу - не выходит решения. Может кто-нибудь помочь?

[espe]

Ответ в виде линейных функций подойдёт?

[svv]

Сначала, независимо от того, поможет это или нет, надо с помощью первого уравнения избавиться во втором от $g$.

Для этого в первое уравнение в качестве $x$ подставим $b+k_2 x$, тогда
$g(b+k_2 x)=-\frac a b (b+k_2 x) - f(b+k_2 x) = - a -\frac a b k_2 x - f(b+k_2 x)$
Подставим это во второе уравнение:
$f(b-k_1 x) - f(b+k_2 x) = \frac a b k_2 x$
Только его в дальнейшем и рассматриваем. А первое теперь является просто определением функции $g(x)$, но полезной для отыскания $f(x)$ информации оно уже не содержит.

[alcoholist]

Сделав несколько замен придем к уравнению вида

$$ F(cx)-F(x)=px, $$

где $c$ и $p$ -- некоторые постоянные.

Рассмотрите случаи, когда $|c|>1$, $|c|=1$ и $|c|<1$.
Если предполагать $f$ непрерывной, то ее легко найти рассматривая предел $\lim_nF(c^{\pm n}x)$

-- Ср ноя 16, 2011 20:23:10 --

espe в сообщении #504537 писал(а):

Ответ в виде линейных функций подойдёт?

Он и получится, если функции непрерывны

[type2b]

Дальше можно вычесть из $F$ линейную часть, и получится типа $h(x)=h(\lambda x)$, откуда $h$ есть произвольная функция от $\exp(2\pi i \log x /\log \lambda)$

[alcoholist]

type2b в сообщении #504679 писал(а):

откуда $h$ есть произвольная функция

ну... такая функция -- константа)))

[VladTK]

Благодарю. Линейные функции вполне подходят. А можно ли решить более общую систему

$$ \left \{ \begin{matrix} f(x)+g(x)=-\frac{a}{b} x\\ f(s(x)-k_1 x)+g(s(x)+k_2 x)=-a \end{matrix}\right $$

где $s(x)$ - известная функция?

[svv]

Попробуйте и здесь проделать аналогичные действия, пока не упрётесь в тупик.
Вы можете исключить $g(x)$, можете подстановками упростить вид уравнения.

[alcoholist]

svv в сообщении #504795 писал(а):

пока не упрётесь в тупик

Здесь до тупика -- рукой подать