Найти сумму ряда

[Samir]

Помогите найти сумму ряда:

$$\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac {1} {2k} - \frac {1} {2k+1}\right)$$

[Legioner93]

Запишите $f(x)=\sum\limits_{k=1}^{\infty} {\frac{x^k}{2k(2k+1)}$. Продифференцируйте $f(x)$. Тогда $k$ из знаменателя уйдет. Потом избавьтесь похожим образом от $2k+1$ (подумайте сами, как именно). Получится геометрическая прогрессия, её вы просуммируете. Ну и дальше осталось понять, что такое $f(x)$ и как она связана с исходной задачей. Всё это я оставляю вам.
UPD: И ещё, конечно же, нужно обосновать корректность всех действий. Начать следует с доказательства сходимости ряда.

[Someone]

Распишите ряд подробно. Может быть, что-нибудь знакомое увидите.

[Samir]

Спасибо большое. Вышло $1-\ln2$

[svv]

А если с единицы в знаменателе начинать, то просто $\ln 2$:
$1-\frac 1 2+\frac 1 3-\frac 1 4+...=\ln 2$
Самый простой способ найти сумму этого ряда -- найти где-нибудь готовый ряд Тейлора для $\ln(1+x)$ и подставить $x=1$.

[Legioner93]

Согласен, так проще гораздо. А там ещё с этими интегралами возиться потом...

[svv]

Но беда в том, что следующая ступень простоты будет -- просто найти этот ряд с готовой суммой. А Ваш способ всё-таки честный...

[Someone]

Ну, для меня кажется очевидным, что такая запись ряда - это прямая подсказка расписать его подробно и сравнить с известными рядами. Если же требуются упражнения с почленным дифференцированием и интегрированием, то можно рассмотреть степенной ряд $f(x)=\sum\limits_{k=2}^{\infty}\frac{x^k}k$, продифференцировать его и т.д..

[Полосин]

Можно еще воспользоваться небезызвестной формулой $1+\dfrac12+\dfrac13+...+\dfrac1n=\ln n +C +o(1)$.