Магические квадраты

[Nataly-Mak]

Посмотрела ассоциативные квадраты из смитов. Есть наименьшие квадраты порядков 3 - 6, квадраты порядков 4 - 6 найдены maxal'ем, квадрат порядка 3 известен давно.
Попробовала по своей программе построить ассоциативный квадрат 7-го порядка. Пока наименьший у меня такой:

346 18274 1219 10966 2182 16735 14566
16474 121 13666 3946 16726 12442 913
1282 17833 7762 15646 9274 706 11785
18346 2839 14719 9184 3649 15529 22
6583 17662 9094 2722 10606 535 17086
17455 5926 1642 14422 4702 18247 1894
3802 1633 16186 7402 17149 94 18022

Магическая константа равна 64288. Этот квадрат построился за 2 секунды.

Остались потенциальные массивы с магическими константами: 64162, 63658, 60760, 59626, 56098, 54334, 52066, 51814, 48160, 45514, 43246.
Наиболее вероятны ассоциативные квадраты с магическими константами: 56098 и 64162 (судя по поведению моей программы)

maxal сообщал, что он проверял эти потенциальные массивы на предмет построения идеального квадрата 7-го порядка, последние шесть магических констант из приведённых выше он уже отсеял. Но это для идеальных квадратов, ассоциативные квадраты вполне могут существовать с такими магическими константами.

-- Ср мар 23, 2011 10:19:11 --

Мной построены ассоциативные квадраты 8-го и 12-го порядка из смитов, но с очень большими магическими константами. Вот эти квадраты:

$n = 8, S = 2720048$

391 778 677101 675058 46714 184018 637474 498514
958 2578 674914 663934 281434 54958 412078 629194
514597 657274 167935 26914 655258 661018 20578 16474
633694 490558 50458 202954 585454 670414 81058 5458
674554 598954 9598 94558 477058 629554 189454 46318
663538 659434 18994 24754 653098 512077 22738 165415
50818 267934 625054 398578 16078 5098 677434 679054
181498 42538 495994 633298 4954 2911 679234 679621

$n = 12, S = 4080072$

391 778 3694 677101 675058 659938 241519 46714 184018 454873 637474 498514
958 2578 4198 674914 663934 674194 276358 281434 54958 405274 412078 629194
8014 19678 26014 655618 650974 633838 290578 260158 294178 409594 429214 402214
514597 657274 521446 167935 26914 174946 593365 655258 661018 70267 20578 16474
633694 490558 459094 50458 202954 222538 620374 585454 670414 58018 81058 5458
519466 438934 457078 176926 250438 243094 586354 641254 538366 73498 29398 125266
554746 650614 606514 141646 38758 93658 436918 429574 503086 222934 241078 160546
674554 598954 621994 9598 94558 59638 457474 477058 629554 220918 189454 46318
663538 659434 609745 18994 24754 86647 505066 653098 512077 158566 22738 165415
277798 250798 270418 385834 419854 389434 46174 29038 24394 653998 660334 671998
50818 267934 274738 625054 398578 403654 5818 16078 5098 675814 677434 679054
181498 42538 225139 495994 633298 438493 20074 4954 2911 676318 679234 679621

О построении этих квадратов можно посмотреть в статье.

[Nataly-Mak]

Попробовала программу построения идеальных квадратов 7-го порядка для нескольких потенциальных массивов простых чисел. Пока квадрат с меньшей магической константой не найден.

(Оффтоп)

У темы «Магические квадраты» вчера был маленький юбилей – 3 года!

С этой темы я начала свои выступления на форуме.
Недавно пролистала тему бегло. Сколько же всего в ней было!

В связи с юбилеем хочу выразить целый ряд благодарностей.

Первая благодарность – администрации форума. За то, что предоставила мне замечательную трибуну для выступлений.
Хотя тут вспоминается и такой момент: у администрации возникали сомнения в нужности этой темы.
Но всё же теме разрешили жить дальше. И она жила до сегодняшнего дня.

Вторая благодарность maxal’у. Он был как бы научным руководителем темы. Давал много интересных материалов (чего стоит сборник статей «Анатомия магических квадратов»), приводил множество ссылок по разным вопросам, принимал самое живое участие в исследованиях, получил несколько интересных результатов. Я вообще плохо представляю себе тему без его участия.

Третья благодарность – shwedk’е. За множество статей и книг, которые она любезно выкладывала в теме, а также присылала мне по почте. Эти статьи и книги очень помогали в исследованиях.

Ну, и наконец, благодарю всех участников темы. Их комментарии, идеи, результаты – всё это было огромным подспорьем в моей работе.

Теперь перехожу к грустной части выступления.
Посмотрела сейчас на тему, за последний месяц среди моих сообщений нет ни одного сообщения других участников! Вот теперь уже не у администрации, а у меня возникли сомнения в нужности темы.

Приведу аналогичный пример. На форуме Портала ЕН есть тема «Гипотеза Гильбрайта». Открыл её давно Pavlovsky. Тема, безусловно, очень интересная. И сначала в ней было много сообщений. Но потом автор темы почему-то её забросил. И в теме стал постоянно выступать один товарищ. Вот он что-то там исследует по этой гипотезе, выкладывает свои результаты (я в это, конечно, не вникала и результаты его не смотрела, вполне возможно, что они очень даже стоящие). Ну, так вот, пишет он один в эту тему и пишет. Я читала эту тему и… видела себя на его месте, а тех, кто читает мою тему «Магические квадраты» видела на своём месте, то есть представляла в точности впечатления и мысли читающих мою тему.
Понятный пример?

Порой я чувствую себя полной идиоткой. Зачем я всё это здесь пишу? Кому всё это надо? Никому не надо!
За три года уже раз десять я пыталась перестать писать в тему. Но каждый раз появлялось чьё-то сообщение, это вновь давало надежду, что тема не совсем ненужная, всё же кому-то интересно, кто-то читает, комментирует.
И вот настал опять момент полного и беспросветного отчаяния… Я ухожу… Не хочу больше чувствовать себя идиоткой!

Нет, конечно, я не оставлю работу над квадратами. По-прежнему буду работать и писать статьи для сайта.

Мой почтовый ящик открыт для всех. Если у кого-то появится интерес к теме, пишите.

[Pavlovsky]

Наталия выложила статью посвященную пандиагональным квадратам 6х6 из чисел Смита.
http://www.natalimak1.narod.ru/pand6.htm

В статье сформулировано ряд гипотез

Гипотеза № 1. Магические константы пандиагональных квадратов 6-го порядка из чисел Смита являются членами арифметической прогрессии с разностью 108.

Гипотеза № 2. Пандиагональные квадраты 6-го порядка можно составить только из чисел Смита равных 4(mod 9).

Может кому интересно полмать голову над доказательством (опровержением) этих гипотез?


Ранее я уже писал, что если использовать числа Смита вида 4mod9, то константы квадрата будут иметь вид 54k + 24. Это легко доказывается. Экспериментально прогрессия с шагом 108 имеет место быть. Значит есть еще какая то особенность этих квадратов.

Кстати есть еще одна закономерность в алгоритме SVB. Если отклонения p2,4,6,8 кратны 36, то в квадрате все чисела Смита будут вида 4mod9.

[svb]

Кое что о пользе магических квадратов.

[Pavlovsky]

svb в сообщении #455934 писал(а):

Кое что о пользе магических квадратов.

Сильно, значит надо изучать алегбры Ли. Только не понял, говорится о магических квадратах, а упоминаются только строки и колонки. А где диагонали?

[svb]

Pavlovsky в сообщении #456060 писал(а):

Только не понял, говорится о магических квадратах, а упоминаются только строки и колонки. А где диагонали?

Вы уж слишком прямолинейно воспринимаете. Всегда имеются частности, но важно в этих частностях увидеть пути к обобщению. Кого сейчас интересует решение уравнений по формулам? Но вот без теории групп трудно представить современную математику.

[Nataly-Mak]

Pavlovsky
я не смотрела выложенную svb книгу, но на ваш вопрос о том, почему в магических квадратах упоминаются только строки и колонки, могу сказать следующее:
в древности, по-видимому, неполные магические (полумагические) квадраты тоже считались магическими. Я много разных статей читала, например, о магических квадратах Франклина. С современной точки зрения большинство квадратов Франклина полумагические, однако они во многих статьях (особенно давних) называются магическими. Мне известен только один действительно магический квадрат Франклина - пандиагональный квадрат 16-го порядка. В какой-то статье написано, что этот квадрат найден в бумагах Франклина гораздо позже других квадратов, потому он мало известен. А широко известные квадраты Франклина все полумагические. Но они интересно полумагические, я назвала их дьявольски полумагическими: они остаются такими же полумагическими (с такими же суммами по диагоналям) при параллельном переносе на торе. Очень интересные квадраты!
Предлагаю свой тематический сборник статей "Квадраты Франклина":
http://narod.ru/disk/8989255001/Frankin.pdf.html
____

Сообщаю, что стартовал второй конкурс "Нетрадиционные магические квадраты":
topic47699.html

Приглашаются все желающие!

На конкурс предлагается 10 задач, но можно решить одну или несколько задач.

[Nataly-Mak]

Подробнее о конкурсе здесь.

Можно задавать вопросы по теме конкурса также в данной теме.
Разрешается обсуждать идеи и алгоритмы построения квадратов.

Конечно, не разрешается выкладывать готовые решения.

Несколько новых идей построения нетрадиционных пандиагональных квадратов недавно выложено мной на форуме Портала ЕН в теме "Нетрадиционные магические квадраты".

[Nataly-Mak]

Есть первый пандиагональный квадрат 20-го порядка из простых чисел

Завершая последнюю статью цикла “Нетрадиционные пандиагональные квадраты”, решила всё же попробовать построить пандиагональный квадрат 20-го порядка по решёткам Россера. Поскольку пандиагональные квадраты 4-го порядка строятся быстрее, чем пандиагональные квадраты 5-го порядка, начала с поиска 25 пандиагональных квадратов 4-го порядка с одинаковой магической константой. Сложность в том, что все квадраты не должны содержать одинаковых чисел. Сначала нашла подходящий набор комплементарных пар из простых чисел, это набор из 241 комплементарных пар с суммой чисел в паре 6510. Понятно, что для построения 25 пандиагональных квадратов 4-го порядка надо не менее 200 комплементарных пар. Набор оказался хорошим. Из чисел этого набора построилось ровно 25 квадратов! 26-ой квадрат уже не составился, ну, он нам и не нужен. С замиранием ждала 25-го квадрата
Ура, 25 пандиагональных квадратов 4-го порядка из различных чисел найдены.
Конечно, когда задача решена, всё кажется очень просто.

И вот он – пандиагональный квадрат 20-го порядка из различных простых чисел:

41 137 149 19 37 6427 6343 6277 6449 6353 131 211 397 281 431 6421 6329 6197 6271 6199
557 29 367 59 173 5923 6121 6101 6163 6287 643 827 929 947 769 5897 6043 5623 5851 5791
419 571 631 853 919 6053 5801 5783 5573 5387 859 1229 857 1201 1487 5689 5419 5749 5393 5227
1061 1103 1231 661 1093 5323 5381 5231 5189 5273 1847 2293 1499 2281 1867 4789 4243 5059 4889 4787
1249 1277 1423 1889 1997 5051 4951 4931 4241 4373 2239 2309 2069 2731 2377 4481 4483 4597 4159 4273
241 337 607 683 773 6311 6203 5987 5869 5857 151 263 359 421 379 6317 6217 6067 6047 6011
1039 1301 1553 1697 1759 5501 5569 4999 5101 4801 953 503 991 809 1163 5527 5647 5477 5413 5297
1471 2087 2003 1871 2357 5077 4561 4603 4723 4357 1031 1429 1777 1523 1789 5441 4943 4637 4903 4517
2647 3823 2381 3709 3593 3989 2713 4177 3461 3061 1861 2633 2113 2089 2819 4523 3851 4349 3761 3547
3373 3253 3323 3583 3259 3347 3539 3343 3307 3391 2383 2221 2677 2741 2879 3917 4007 3677 3389 3491
6379 6299 6113 6229 6079 89 181 313 239 311 6469 6373 6361 6491 6473 83 167 233 61 157
5867 5683 5581 5563 5741 613 467 887 659 719 5953 6481 6143 6451 6337 587 389 409 347 223
5651 5281 5653 5309 5023 821 1091 761 1117 1283 6091 5939 5879 5657 5591 457 709 727 937 1123
4663 4217 5011 4229 4643 1721 2267 1451 1621 1723 5449 5407 5279 5849 5417 1187 1129 1279 1321 1237
4271 4201 4441 3779 4133 2029 2027 1913 2351 2237 5261 5233 5087 4621 4513 1459 1559 1579 2269 2137
6359 6247 6151 6089 6131 193 293 443 463 499 6269 6173 5903 5827 5737 199 307 523 641 653
5557 6007 5519 5701 5347 983 863 1033 1097 1213 5471 5209 4957 4813 4751 1009 941 1511 1409 1709
5479 5081 4733 4987 4721 1069 1567 1873 1607 1993 5039 4423 4507 4639 4153 1433 1949 1907 1787 2153
4649 3877 4397 4421 3691 1987 2659 2161 2749 2963 3863 2687 4129 2801 2917 2521 3797 2333 3049 3449
4127 4289 3833 3769 3631 2593 2503 2833 3121 3019 3137 3257 3187 2927 3251 3163 2971 3167 3203 3119

Магическая константа квадрата равна 65100.

Ничего не могу сказать о минимальности квадрата. Это вообще первый пандиагональный квадрат 20-го порядка из различных простых чисел, других пока не найдено.

На этом поставлю точку. До порядка 20 не найдены пандиагональные квадраты из простых чисел порядков 14, 17 и 19.
Два порядка – 14 и 17 - включены в конкурсные задачи.
Для построения пандиагонального квадрата 14-го порядка надо найти всего 4 пандиагональных квадрата 7-го порядка из различных простых чисел с одинаковой магической константой. Просто это или сложно? Кто решит, тот расскажет

[deemoon]

Nataly-Mak
здраствуйте уважаемые математик
а вы для форекса непробовали такой штуку составить,я только вот нашел вашу тему,эх жалко чтоя еще в армию ухожу!

Предупреждение
за подъём темы неинформативным сообщением.

[iig]

Я завидую Вашей целеустремленности, это то, что мне не хватает.
Вот сейчас надо выписать формулы по непрерывной теории луп, а лень - то подруга припрется, то друзья...
Жена тоже по хозяйству дает поручения.
В общем, некогда вникать в ваши квадраты, Вы уж извините.

[Toucan]

iig, за постоянный оффтопик, с учетом многочисленных предупреждений и предыдущей трехмесячной блокировки, постоянный бан

[Nataly-Mak]

Живы ли ещё магические квадраты?

Я не то чтобы их совсем забросила. Много других тем и задач, вот в конкрсах программистов участвую, интересные задачки, однако, тоже комбинаторные. Очень люблю всякие комбинаторные задачки.

Там, на международном конкурсе, предлагаются темы для следующих конкурсов. Я тоже свою тему предложила - непересекающиеся маршруты шахматного коня. Тему приняли для головоания.

Там предложена такая интересная тема - Магические антимагические квадраты.
В этой ветке очень давно я приводила определение антимагических квадратов, найденное мной в одной серьёзной англоязычной статье.
В Рунете, между прочим, много отсебятины в определении антимагических квадратов.

Так вот, весьма любопытно тема сформулирована. Надо подумать: может ли квадрат быть одновременно магическим и антимагическим.

Ещё надо потренироваться в построении антимагических квадратов. Вдруг эту тему выберут для следующего конкурса, надо заранее немного подготовиться

[Nataly-Mak]

Эх! квадраты вы мои, квадраты!

Уважаемые коллеги: maxal, Pavlovsky, svb, alexBlack!
Мы сделали очень много в теории и практике построения магических квадратов, но остались ещё нерешённые задачи.
Я возвращаюсь к прерванной теме.

Есть задачи, которые решают много лет. Это хорошие задачи! Согласитесь
Одной из таких задач является задача построения наименьшего пандиагонального квадрата 6-го порядка из чисел Смита (коротко мы называем эти числа смитами).
Мы начали решать эту задачу больше года назад.

Представьте, уважаемые форумчане: такой маленький квадратик, всего 6х6. Вот его надо заполнить всего 36-ю (попарно) различными смитами так, чтобы он получился пандиагональным, но не только, требуется найти такой квадрат с наименьшей магической константой.
Простенькая такая задачка
Однако, решая её совместными усилиями с моими коллегами, мы так и не нашли решение.

На сегодня, как мне известно, построен пандиагональный квадрат 6-го порядка из смитов с наименьшей константой 5100.
Сообщение об этом квадрате практически одновременно сделали на форуме ПЕН svb и alexBlack.
Что было дальше, мне неизвестно. Какие потенциальные константы проверены окончательно и отвергнуты?

К сожалению, страничка alexBlack, посвящённая этой задаче:
http://alexblack.wallst.ru/article.php?content=121
привела меня в никуда (ошибка: страница не найдена).

Заглянула на страницу svb:
http://svb.hut.ru/ALG/mag6.htm
Там всё заканчивается квадратом с магической константой 5100, но автор обещал продолжить работу.

Я посвятила этой задаче много времени, написала большую статью:
http://www.natalimak1.narod.ru/pand6.htm

Сколько было опробовано разных идей и алгоритмов, сколько написано программ!
Мне удалось окончательно проверить только одну потенциальную константу - 3912. С такой константой пандиагонального квадрата 6-го порядка из смитов точно не существует.
Вроде бы alexBlack проверил полностью магическую константу 4020.

Кстати, построенные svb квадраты с магическими константами 5694 и 5802 опровергли мою гипотезу о том, что магические константы пандиагональных квадратов 6-го порядка из смитов образуют арифметическую прогрессию с разностью 108. На самом деле, они образуют арифметическую прогрессию с разностью 54.
Таким образом, между константами 3912 и 4020 есть ещё одна потенциальная константа - 3966. Проверил ли её кто-нибудь?
Итак, сейчас надо начинать проверку с первой потенциальной константы, следующей за 5100, это константа 5046. Собственно, осталось не так уж много потенциальных констант.

svb
скачала ваш архив, в котором программа и построенные вами квадраты.
Программу запустила для константы 4128, она работает. Но что она делает? Выполняет ли она полную проверку? Файл readme.txt у меня почему-то, как часто бывало, содержит набор символов вместо нормального текста.

Pavlovsky
а что нового у вас? До какой точки вы дошли, прежде чем бросили эту задачу? Вы сообщали на форуме ПЕН о своём намерении попробовать поработать с шаблонами. Это дало какие-то результаты?

Приглашаю всех форумчан подключаться к решению этой задачи

Уверяю вас: задача очень сложная и в лоб не решается.
Конечно, программы... Да. Но фишка в том, что программы выполняются очень долго.
Нет, не все, конечно. Например, alexBlack добился того, что массив из 36 чисел его программа проверяет несколько секунд! Тут для программистов очень хорошие заморочки Оптимизировать перебор - это задача пока ещё из разряда сложных.
Но это массив из 36 чисел. А в большинстве случаев надо проверять массив, состоящий из большего количества чисел, и вот тут начинаются проблемы со временем выполнения программы.

[Nataly-Mak]

svb
вот показываю окно вашей программы. Для магической константы 4128 программа отработала, 3 с небольшим часа всего. Как я понимаю, пандиагональный квадрат с такой константой программа не нашла.
Была выполнена полная проверка? Можно сказать, что такого квадрата не существует?