Увеличение натурального числа на его сумму цифр

[vivaldi]

V-преобразованием назовём увеличение натурального числа на его сумму цифр (в десятичной записи). Верно ли, что из любого натурального числа, не кратного 5, не более чем за 10 V-преобразований получается число, кратное 5 ?

(Математический бой объединенных команд Сиверской гимназии № 1 и Лужских групп ЗМШ при СПбГУ)

[venco]

Неверно.

[vivaldi]

venco в сообщении #504246 писал(а):

Неверно.

Контрпример на компе нашли или сами?

[venco]

Практически вручную, на компе лишь проверил и удлинил последовательность до 38 преобразований. За основу взял число с суммой цифр 45 и модифицировал его, если в процессе получалась последняя цифра 5.
Контрпример - 9299151.

[Руст]

Можно показать, что для любого $n$ существует число х, что подряд n V преобразований не изменит последнюю цифру, которую можно взять 1.

[vivaldi]

venco в сообщении #504278 писал(а):

Практически вручную, на компе лишь проверил и удлинил последовательность до 38 преобразований. За основу взял число с суммой цифр 45 и модифицировал его, если в процессе получалась последняя цифра 5.
Контрпример - 9299151.

А моя знакомая Ксюша доказала, что таких контрпримеров бесконечно много: любому числу вида $5\cdot 10^{n+2}+1$, где n - натуральное, требуется 18 преобразований.

[ИСН]

(Оффтоп)

Где она сама, кстати? Всё ходила на форум, а тут что-то нет и нет.

[vivaldi]

ИСН в сообщении #504290 писал(а):

(Оффтоп)

Где она сама, кстати? Всё ходила на форум, а тут что-то нет и нет.

(Оффтоп)

Она фкащенко У нее депрессняк.

[venco]

Руст в сообщении #504284 писал(а):

Можно показать, что для любого $n$ существует число х, что подряд n V преобразований не изменит последнюю цифру, которую можно взять 1.

Ага. Если взять число с суммой цифр $10^{k+1}-10$, оканчивающееся на $k$ нулей, $k$ девяток и ещё одну любую цифру, то сумма, и соответственно последняя цифра, будет сохраняться в течение $10^k$ преобразований.

[ИСН]

(Оффтоп)

vivaldi в сообщении #504306 писал(а):

У нее депрессняк.

Ну, передайте привет от здешнего сообщества, что ли. Авось пройдёт.

[Руст]

ИСН в сообщении #504317 писал(а):

(Оффтоп)

vivaldi в сообщении #504306 писал(а):

У нее депрессняк.

Ну, передайте привет от здешнего сообщества, что ли. Авось пройдёт.

Передайте привет и от меня. Она мне часто писала на личку. Может не всегда я отвечал. Мы ее помним и желаем скорейшего выздоровления.

[nnosipov]

(Оффтоп)

Да, без Ксении "олимпиадный раздел" немного даже осиротел. Конечно, ждём скорейшего возвращения.

[Sender]

ИСН в сообщении #504317 писал(а):

(Оффтоп)

vivaldi в сообщении #504306 писал(а):

У нее депрессняк.

Ну, передайте привет от здешнего сообщества, что ли. Авось пройдёт.

(Оффтоп)

Что бы там ни было, надеюсь, Ксения преодолеет это в скором времени, мы её помним и любим.