Операторы

[Mega Sirius12]

Операторы можно складывать друг с другом, умножать
А можно ли возводить в степень? скажем$d^d$-?

[Legioner93]

Довольно сомнительная операция. Можно попробовать так. Всё нижеизложенное является моим полным IMHO.
$d^d=e^{d\ln{d}}$. В свою очередь запишем $\ln{d}=(d-1)-\frac{(d-1)^2}{2}+\frac{(d-1)^3}{3}-\frac{(d-1)^4}{4}+...$
$1$ - единичный оператор. Что такое степень оператора - тоже понятно. Осталось определиться, что такое сумма (разность) двух операторов, а также умножение оператора на число. Не знаю, как это делается в общем случае (подозреваю, что с этим проблемы). Но в случае, например, операторов над линейными пространствами всё просто: операторы описываются матрицами. С матрицами (квадратными) мы можем делать, что хотим. Но пропустим этот шаг. Допустим, мы умеем складывать операторы и умножать их на число (если уж мы хотим выполнить такую сложную операцию, как $d^d$, то простую арифметику тоже должны уметь делать). Тогда указанный ряд для логарифма вполне может где-то сходится. Замечу, что если уж он сходится, то его суммой является тоже некоторый оператор, который мы и назовем логарифмом. Экспоненту определяем аналогичным рядом. То, что мы получим, в каком-то смысле можно назвать $d^d$.

[Joker_vD]

Legioner93 в сообщении #503487 писал(а):

Осталось определиться, что такое сумма (разность) двух операторов, а также умножение оператора на число. Не знаю, как это делается в общем случае (подозреваю, что с этим проблемы).

С этим проблем нет никогда — достаточно взять поточечые операции. Проблема всегда в другом — как ввести сумму ряда?

[ИСН]

Как предел частичных сумм, разумеется.

[ewert]

ИСН в сообщении #503555 писал(а):

Как предел частичных сумм, разумеется.

Да вот не разумеется.

С одной стороны, это возможно лишь для ограниченных операторов, да и то не для всех, а лишь для таких, у которых спектральный радиус меньше радиуса сходимости ряда. Для неограниченных операторов такой подход вообще невозможен и приходится изобретать нечто другое.

С другой стороны: для матриц, т.е. в конечномерном случае, этот ряд в конце концов вообще исчезает в том смысле, что сворачивается в некоторый интерполяционный многочлен (см., например: Гантмахер, Теория матриц).

[Joker_vD]

А еще может повезти так, что оператор действует в пространство без топологии. Ну, чисто гипотетически. Как тогда предел частичных сумм вводить?