Логарифмическая спираль

[samuil]

Логарифмическая спираль $r = ae^{b\theta}\,$

Есть вопрос. Как доказать, что Угол, составляемый касательной в произвольной точке логарифмической спирали с радиус-вектором точки касания, постоянный и зависит лишь от параметра равен $\varphi=\arccos \frac b{\sqrt{1+b^2}}$

Можно представить в параметрической форме, это как-то поможет?

(Попытка)

$\cos \varphi= \dfrac{x_1x_2+y_1y_2}{r_1r_2}$

$x(t) = r \cos t = ae^{bt} \cos t$
$y(t) = r \sin t = ae^{bt} \sin t$

$x_1 = ae^{bt_1} \cos t_1$
$x_2 = ae^{bt_2} \cos t_2$

$y_1 = ae^{bt_1} \sin t_1$
$y_2 = ae^{bt_2} \sin t_2$

$r_1=\sqrt{x_1^2+y_1^2}=ae^{bt_1}$
$r_2=\sqrt{x_2^2+y_2^2}=ae^{bt_2}$

$$\cos \varphi=\dfrac{ae^{b(t_1+t_2)}\cos t_1\cos t_2+ae^{b(t_1+t_2)}\sin t_1\sin t_2}{ae^{b(t_1+t_2)}}=\cos(t_1-t_2)$$

А что дальше?!

[Алексей К.]

Вы в своей попытке завели какие-то икс-один и икс-два, а нам не объяснили, что это такое. Я, например, не смог протелепатить. Если это две точки на кривой, то на хрена нам две точки, если требуется исследовать явление в одной точке? В каждой точке!

Берите произвольную точку, пишите вектор касательной, считайте угол. Мы Вам в помощь.
И зачем информацию вполне по теме засовывать в оффтопик?
Не помню, были ли там рациональные зёрна. Я как увидел $x_1,x_2$, сразу перестал читать. Сейчас перечитаю.

-- 14 ноя 2011, 00:54:04 --

Последняя формула в оффтопике неправильна (косинус разности, а не синус суммы), но я не увидел смысла в этих вычислениях. Слова пишите, комментарии к формулам. Чай не в школе сидим, а делом занимаемся, математику изучаем.

[samuil]

Ах, успели добавить, перед тем как исправил!
Спасибо, сейчас подумаю.

[ewert]

Во всяком случае, декартовы координаты тут явно неадекватны. Т.е. и из них всё, конечно, можно при желании выжать, но гораздо разумнее, в соответствии со спецификой задачки, дифференцировать в координатах полярных.

[samuil]

Да, я нашел угол между двумя радиус-векторами с координатами $\vec{r_2}=(x_2,y_2)$ и $\vec{r_1}=(x_1,y_1)$.
Зачем? Сам не знаю! Сейчас постараюсь что-то придумать с касательным вектором

-- 14.11.2011, 01:00 --

А как написать вектор касательной в данной точке с полярными координатами?!

То есть -- я знаю как в декартовых координатах строить касательную. А как в полярных?

[Алексей К.]

Если Вы знаете декартову касательную, то ослушайтесь ewertа, и сосчитайте, как знаете. А потом всё же поищите (или выведите) соотв. формулу в полярных координатах.

[ewert]

Сместите угол на $d\theta$. Тангенс угла наклона между касательной и радиус-вектором -- это отношение $r\,d\theta$ к $dr$ при данном $d\theta$.

Это, конечно, жаргон, но вполне очевидным образом оправдываемый.

[samuil]

Алексей К. в сообщении #503416 писал(а):

Если Вы знаете декартову касательную, то ослушайтесь ewertа, и сосчитайте, как знаете. А потом всё же поищите (или выведите) соотв. формулу в полярных координатах.

Ух, для этого еще желательно явная зависимость $y=y(x)$

-- 14.11.2011, 01:18 --

ewert в сообщении #503420 писал(а):

Сместите угол на $d\theta$. Тангенс угла наклона между касательной и радиус-вектором -- это отношение $r\,d\theta$ к $dr$ при данном $d\theta$.

Это, конечно, жаргон, но вполне очевидным образом оправдываемый.

Спасибо, сейчас попробую!!!!

[Алексей К.]

Вы там в оффтопике явно записали $x(t),y(t)$. Стало быть, Вы и в декартовых не знаете касательную к кривой, а знаете только тот случай, когда кривая является графиком функции $y=f(x)$. И чо, у Вас под рукой ни учебников, ни справочников, и мне вылезти из кровати, взять с полки справочник, и переписать Вам формулу для вектора касательной? Нет, мне особо не трудно, я встану, только подтвердите, что у Вас такой полки нет.

[samuil]

$r = ae^{b\theta}$

$\dfrac{dr}{d\theta}=abe^{b\theta}$ => $dr=brd\theta$

-- 14.11.2011, 01:35 --

Алексей К. в сообщении #503426 писал(а):

Вы там в оффтопике явно записали $x(t),y(t)$. Стало быть, Вы и в декартовых не знаете касательную к кривой, а знаете только тот случай, когда кривая является графиком функции $y=f(x)$. И чо, у Вас под рукой ни учебников, ни справочников, и мне вылезти из кровати, взять с полки справочник, и переписать Вам формулу для вектора касательной? Нет, мне особо не трудно, я встану, только подтвердите, что у Вас такой полки нет.

У меня есть интернет, но ewert говорит, что удобнее в полярных.
Я поискал, вот что нашел в Википедии:

Чтобы найти тангенс угла наклона к любой данной точке полярной кривой $r(\varphi)$ в декартовых координатах, выразим их через систему уравнений в параметрическом виде:
$x=r(\varphi)\cos\varphi$
$y=r(\varphi)\sin\varphi$
Дифференцируя оба уравнения по $\varphi$ получим:
$\frac{dx}{d\varphi}=r'(\varphi)\cos\varphi-r(\varphi)\sin\varphi$
$\frac{dy}{d\varphi}=r'(\varphi)\sin\varphi+r(\varphi)\cos\varphi$
Разделив эти уравнения (второе на первое), получим искомый тангенс угла наклона касательной в декартовой системе координат в точке $(r,\;r(\varphi))$
$\frac{dy}{dx}=\frac{r'(\varphi)\sin\varphi+r(\varphi)\cos\varphi}{r'(\varphi)\cos\varphi-r(\varphi)\sin\varphi}.$

Так можно найти $k$ в уравнении $y=kx+b$. А $b$ из условия, что касательная проходит через заданную точку!

[ewert]

samuil в сообщении #503427 писал(а):

$\dfrac{dr}{d\theta}=abe^{b\theta}$ => $dr=brd\theta$

Да, и осталось только взять отношение дифференциалов как тангенс угла наклона (я там сперва что-то не то прочитал).

[samuil]

ewert в сообщении #503420 писал(а):

Тангенс угла наклона между касательной и радиус-вектором -- это отношение $r\,d\theta$ к $dr$ при данном $d\theta$.

А как так получилось?!

-- 14.11.2011, 01:39 --

ewert в сообщении #503433 писал(а):

samuil в сообщении #503427 писал(а):

$\dfrac{dr}{d\theta}=abe^{b\theta}$ => $dr=brd\theta$

Ну нет, так не пойдёт: у Вас слева производная, а справа -- зачем-то дифференциал. В принципе же, разумеется, дело именно в этом.

Не очень понял - а что неправильно?!

[ewert]

samuil в сообщении #503434 писал(а):

Не очень понял - а что неправильно?!

Это я по рассеянности, пардон.

samuil в сообщении #503434 писал(а):

А как так получилось?!

Ну там отношения приращений: сперва маленьких, потом очень маленьких, потом бесконечно маленьких, потом ваще предел...

[samuil]

Что-то я картинку по-моему неправильно представляю....Кажется, как будто этот угол равен $\varphi=\pi/2$ всегда...Или так и должно быть?

[Legioner93]

Легко понять, что угол будет $\frac{\pi}{2}$ только в случае $r=const$, т.е. если график представляет собой окружность.
Рисунок нарисован грубовато, отсюда и непонимание.