Нормы неэквивалентные гильбертовой

[Норберт]

Пусть $X$ одно из пространств $c_0, \ell_p, \ell_{\infty}, L^p([a,b])$ или $(C([a,b]), ||\cdot||_p)$, где $p\in [1,+\infty)\setminus \{2\}$ Нужно доказать что не существует пространства $Y$ со скалярным произведением и оператора $T\colon X\to Y$ обладающего ограниченным обратным. Отмечу, что $Y$ не обязательно гильбертово пространство. Менее детальная формулировка - доказать что в указанных пространствах нормы не эквивалентны норме порожденной скалярным произведением.

Поправьте меня, если что-то неверно. По сути надо доказать что не существует изоморфизма (не обязательно изометрического) между $X$ и $Y$. Допустим, что он существует. Отметим, что при изоморфизмах сохраняются свойства полноты и рефлексивности.

Если $Y$ не полно, то возможен только случай $X=(C([a,b]), ||\cdot||_p)$, так как остальные пространства полны. Тогда переходя к пополнениям, получаем, что $\overline{Y}$ изоморфно $\overline{(C([a,b]), ||\cdot||_p)}=L^p([a,b])$. Отметим, что $\overline{Y}$ теперь гильбертово пространство. Пока остановимся и рассмотрим второй случай.

Если $Y$ полно (то есть $Y$ - гильбертово пространство), то случай $X=(C([a,b]), ||\cdot||_p)$ невозможен так как это пространство не полно. Остаются $c_0, \ell_p, \ell_{\infty}, L^p([a,b])$. Так как $Y$ - гильбертово, то оно рефлексивно. Поэтому случаи $c_0, \ell_{\infty} \ell_1$ невозможны, так как эти пространства нерефлексивны. Остаются возможности $\ell_p, L^p([a,b])$ при $p\in (1,+\infty)\setminus \{2\}$.

Таким образом, чтобы получить противоречие достаточно показать что никакое гильбертово пространство не может быть изоморфно ни $\ell_p$ ни $L^p([a,b])$ при $p\in(1,+\infty)\setminus \{2\}$. Теперь отметим что благодаря теореме Рисса существует изоморфизм между $Y$ и $Y^*$. Хотя он и не канонический, нам это не важно. Теперь осталось доказать что $X$ не изоморфно $X^*$ для $X=\ell_p, L^p([a,b])$. То есть нужно показать что $\ell_p$ не изоморфно $\ell_q$ и $L^p([a,b])$ не изоморфно $L^q([a,b])$ для $p\in(1,+\infty)\setminus \{2\}$, $p^{-1}+q^{-1}=1$. Причем надо доказать отсутствие не то что изометрического, а любого ограниченного оператора (с ограниченным обратным) между ними.