Помогите понять интуицию для Преобразований Лапласа

[Munin]

profrotter в сообщении #503027 писал(а):

Кстати, а где видно каким будет образ для $sign(t)$?

Собственно, а нигде :-)
Поскольку мы незаконно лезем через полюс, мы получаем произвол, и можем сами выбирать, загонять нам дельту в образ хэвисайда, в образ сигнума или куда-то ещё. Главное, что эти образы должны иметь между собой заданную разность. Ну а дальше, нам просто удобно действовать симметрично, говорить, что мы берём "главное значение", и полагать, что без дельты остался сигнум.

Это я так понимаю... Ещё немного, и начну калибровочную ТФКП писать...

[vladiko]

profrotter

Хххх мда , вот что значит писать ночью. Забыл минус в пределе и всё получилось как надо.Да вы правы образ для sign(t) находят через дифференцирование. Посыпаю голову пеплом.

[profrotter]

vladiko в сообщении #503104 писал(а):

Да вы правы образ для sign(t) находят через дифференцирование.

Не писал такого. Напротив писал, что в случае когда рассматриваются функции не удовлетворяющие условию абсолютной интегрируемости (при котором честно рассматривается преобразование Фурье) свойство дифференцирования в привычном для нас виде не выполняется. Указывал даже причину и просил меня поправить, если ошибся. Но никто не поправил.

Давайте вернёмся к доказательству свойства дифференцирования сигнала. Спектральная плотность $S_d(\omega)$ производной сигнала $s_d(t)=\frac {ds(t)} {dt}$ может быть найдена в виде:

$$S_d(\omega)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}s_d(t)e^{-i \omega t}dt=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac {ds(t)} {dt} e^{-i \omega t}dt=$$

$$=s(t)e^{-i\omega t}\lvert_{-\infty}^{+\infty}+i\omega \int\limits_{-\infty}^{+\infty}s(t)e^{-i \omega t}dt=s(t)e^{-i\omega t}\lvert_{-\infty}^{+\infty}+i\omega S(\omega),$$

где $S(\omega)$ - спектральная плотность сигнала. Когда мы рассматриваем функции, убывающие на бесконечности, добавочка $s(t)e^{-i\omega t}\lvert_{-\infty}^{+\infty}$ представляет собою разность пределов произведения бесконечно-малой $s(t)$ и ограниченной по модулю $e^{-i\omega t}$ функций, которые равны нулю и мы получаем свойство дифференцирования в привычном виде: $S_d(\omega)=i\omega S(\omega)$. Но в общем то случае мы эту добавку никуда выбрасить не можем. В частности, когда речь идёт о сигнум-функции и функции Хэвисайда эта добавка вообще даёт неопределённость.

Некорректрость, связанную с определением спектральной плотности сигнум-функции с привлечением свойства дифференцирования можно найти, например, в Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов. - М.: Радио и связь, 1986 на стр.54. Учебник между прочим имеет министерский гриф "допущено".

Думаю более правильным было бы высказать предположение о том, что спектральная плотность сигнум-фунции равна $\frac 2 {i\omega}$, а потом взять обратное преобразование Фурье, облегчить себе жизнь учитывая, что спектральная функция в данном случае чисто мнимая и можно рассматривать синус-преобразование Фурье и искать сигнал только для положительных $t$, а на отрицательные распространить нечётно-симметричным образом. В итоге придём к интегральному синусу который уже исследован до нас и получим сигнум-функцию. Похожий подход с проверкой используется в Золотарев И.Д. Применение метода, упрощающего обратное преобразование Лапласа при исследовании динамики колебательных систем стр 67 http://window.edu.ru/.../05110240.pdf

vladiko в сообщении #503104 писал(а):

Забыл минус в пределе и всё получилось как надо

Когда вы пытались взять преобразование Фурье от сигнум-функции "в лоб", то на самом деле упустили там ещё одну математическую тонкость. Дело в том, что два несобственных интеграла, которые вы получили, разбив исходный, расходятся в том смысле, что они неопределены, и уже на этом шаге сомнительно было использовать формулу Ньютона-Лейбница и выписывать пределы первообразных. (Почти то же самое, кстати, делает сомнительным и преобразования в доказательстве теоремы дифференцировния, которое я приводил выше в рассматриваемом "нехорошем" случае.) Конечно можно было бы упереться рогом и доопределить эти интегралы по Чезаро, но тот же самый подход не дал бы успеха при расчёте "в лоб" спектральной плотности функции Хэвисайда, что опять привнесло бы массу сомнений.

Вот с учётом всего этого я и писал, что самым красивым вариантом является сначала честно найти преобразование Лапласа функции Хэвисайда, потом грамотно перейти к её преобразованию Фурье, а потом уже найти спектральную плотность сигнум-функции.

А грамотно переходить так. Пусть сигнал $s(t)$ имеет изображение $\overline{S}(p)$, а изображение имеет полюс на мнимой оси. Применительно к случаю с функцией Хэвисайда будем рассматривать случай, когда полюс $p_0=0$. Мы уже отмечали, что переход от преобразования Лапласа $\overline{S}(p)$ к преобразованию Фурье $S(\omega)$ соответствует совмещению контура интегрирования в обратном преобразовании Лапласа с мнимой осью:

$$s(t)=\frac 1 {2\pi i}\int\limits_{\alpha-i\infty}^{\alpha+i\infty}\overline{S}(p)e^{pt}dp\rvert_{\alpha=0}=\frac 1 {2\pi i}\lim\limits_{r\to0}\left(\int\limits_{-ir}^{ir}\overline{S}(p)e^{pt}dp+\int\limits_{-i\infty}^{-ir}\overline{S}(p)e^{pt}dp+\int\limits_{ir}^{i\infty}\overline{S}(p)e^{pt}dp\right)$$

Первый интеграл в больших скобках - это интеграл по половинке синей окружности на рисунке. Его значение не зависит от $r$. Интеграл по всей синей окружности связан с вычетом подынтегральной функции, а интеграл по половинке окружности равен его половине:

$$\int\limits_{-ir}^{ir}\overline{S}(p)e^{pt}dp=\frac 1 2 \oint\limits_{|p|=r}\overline{S}(p)e^{pt}dp=i\pi \operatorname{res}\limits_{p_0=0}\overline{S}(p)e^{pt}.$$

Далее конструкция

$$\lim\limits_{r\to0}\left(\int\limits_{-i\infty}^{-ir}\overline{S}(p)e^{pt}dp+\int\limits_{ir}^{i\infty}\overline{S}(p)e^{pt}dp\right)=V.p.\int\limits_{-i\infty}^{i\infty}\overline{S}(p)e^{pt}dp=i \int\limits_{-\infty}^{\infty}\overline{S}(i\omega)e^{i\omega t}d\omega.$$

Далее $V.p.$ опускаем и помним, что речь идёт о главном значении несобственных интегралов. Возвращаясь к исходному выражению получим:

$$s(t)=\frac 1 2 \operatorname{res}\limits_{p_0=0}\overline{S}(p)e^{pt}+\frac 1 {2\pi} \int\limits_{-\infty}^{\infty}\overline{S}(i\omega)e^{i\omega t}d\omega.$$

Рассмотрим теперь прямое преобразование Фурье сигнала:

$$S(\omega)=\pi \operatorname{res}\limits_{p_0=0}\overline{S}(p)e^{pt}\delta(\omega)+\overline{S}(i\omega).$$

В случае функции Хэвисайда $\overline{S}(p)=\frac 1 p$, $\operatorname{res}\limits_{p_0=0}\overline{S}(p)e^{pt}=1$ и

$$S(\omega)=\pi\delta(\omega)+\frac 1 {i\omega}.$$

-----------------------------------
Вобщем математика тотальная. Придут математики, меня поправят если что.

[Munin]

profrotter в сообщении #503622 писал(а):

В частности, когда речь идёт о сигнум-функции и функции Хэвисайда эта добавка вообще даёт неопределённость.

Интересно другое. Мы эту неопределённость можем игнорировать. Потому что нам интересны не просто функции $S_d(\omega),$ сами по себе, в школьном понимании правила соответствия аргумента значению, а они нам интересны как плотности, по которым можно интегрировать, с которыми брать свёртку, и т. п. И тут оказывается, что эта добавка при любом интегрировании исчезает. То есть не представляет для нас никакой опасности.

Всё это уводит в функан и в обобщённые функции, которые именно что функциями не являются, и изучать это стоит не по учебникам радиотехники...

profrotter в сообщении #503622 писал(а):

Вобщем математика тотальная.

Это пока ещё ТФКП, а не математика...

[profrotter]

Munin в сообщении #503747 писал(а):

Всё это уводит в функан и в обобщённые функции, которые именно что функциями не являются, и изучать это стоит не по учебникам радиотехники...

Я вроде к книжкам по радиотехнике не отсылал, лишь указал, на некорректность в учебнике по теоретической радиотехнике Гоноровского в редакции 1986 года. Самое интересное, что в редакции от 1977 Гоноровский доказывает свойство дифференцирования рассматривая обратное преобразование Фурье, но такой вольности с сигнум-функцией не допускает, находя спектральную плотность именно функции Хэвисайда. И, кстати, теория сигналов базируется достаточно плотно и на функциональном анализе. Где как ни в радиотехнике теория сигналов изучается применительно к практике? Квадрат нормы функции, описывающей сигнал, оказывается теперь энергией сигнала. Разложение по системам функций? - Имеется. Хотите ортогональное, хотите не очень, есть разные пространства сигналов и тд и тп.

Munin в сообщении #503747 писал(а):

Это пока ещё ТФКП, а не математика...

Вот не надо. Написали там выше что-то обидное ewert-у и теперь некому сказать веское слово!

Munin в сообщении #503747 писал(а):

Мы эту неопределённость можем игнорировать.

Я бы не стал вольно обращаться с неопределённостью. Так утрированно я могу конечно согласиться и сказать, что с высоты птичьего полёта, рассматривая преобразование Фурье неинтегрируемых функций мы имеем дело с некоторой неопределённостью, но доопределяем её так, чтобы были согласованы интегралы (или главные значения интегралов) в прямом и обратном преобразованиях Фурье, а дельта-функции в одной области соответствовала постоянная или гармоническая функция в другой.

[Munin]

profrotter в сообщении #503778 писал(а):

Я вроде к книжкам по радиотехнике не отсылал, лишь указал, на некорректность в учебнике по теоретической радиотехнике Гоноровского в редакции 1986 года.

Ну извините.

profrotter в сообщении #503778 писал(а):

И, кстати, теория сигналов базируется достаточно плотно и на функциональном анализе. Где как ни в радиотехнике теория сигналов изучается применительно к практике?

Верно, только функан теорией сигналов не исчерпывается.

profrotter в сообщении #503778 писал(а):

Вот не надо.

Я просто хочу обратить внимание, что ТФКП - это ещё не функан.

profrotter в сообщении #503778 писал(а):

Написали там выше что-то обидное ewert-у и теперь некому сказать веское слово!

Ну, если он скажет чего-то более веское, это будет хорошо. Просто в тот раз он сказал всего лишь чего-то общее и банальное.

profrotter в сообщении #503778 писал(а):

Я бы не стал вольно обращаться с неопределённостью.

О, вольно обращаться я и не призываю. Мне забавен тот факт, что здесь это сходит с рук, и я понятия не имею, как это можно использовать шире.

[Oleg Zubelevich]

Munin
А как же вопрос, который я Вам задал в другой ветке? post503776.html#p503776

[profrotter]

(Munin)

Munin в сообщении #503825 писал(а):

Просто в тот раз он сказал всего лишь чего-то общее и банальное.

В пятничный или субботний вечер каждый имеет полное право сказать что-то общее и банальное, возможно даже после пятого стакана крепкого чаю...

[Munin]

Oleg Zubelevich
Я надеюсь, вы не хотите, чтобы я был во всех ветках сразу?

-- 15.11.2011 00:09:53 --

(Оффтоп)

profrotter в сообщении #503857 писал(а):

возможно даже после пятого стакана крепкого чаю...

Кстати, о крепком чаю, спасибо, что напомнили, пойду налью...