Многочлен инвариантный относительно группы перестановок

[Leox]

извиняюсь, не увидел что выше уже был предложен тот же метод.

[ellipse]

Кажется, я придумал!

Нужно взять моном $F=F(x_1,...,x_n)$ такой, что $\forall g,h\in S_n\ ((g \neq h) \Rightarrow gF \neq hF)$, то есть между элементами $S_n$ и мономами вида $gF$ есть биекция. Тогда $R= \sum_{g \in G} gF$ будет инвариантным только относительно элементов группы $G$. Действительно, если мы подействуем на сумму $\sum_{g \in G} gF$ элементом $h \notin G$, получим хотя бы один моном, которого нет в этой сумме.
В качестве такого монома всегда подходит $F(x_1,...,x_n)=x_1x_2^2...x_{n-1}^{n-1}$, потому что перестановка определяется действием на $n-1$ элементе.

Для $S_3 > A_3 = \{e, (123), (132)\}$ этот метод работает. $F=x_1x_2^2$.
Тогда $R=x_1x_2^2+x_2x_3^2+x_3x_1^2$.

Степень получается $n(n-1)/2$. Интересно, можно ли как-то уменьшить степень мнонома или сократить полученный полином.

[ellipse]

Мне кажется, в некоторых случаях моном можно взять меньшей степени. Можно ослабить условия на моном $F$. $\forall h \notin G\ \exists g \in G\ hgF \notin GF$. Но как его использовать..

[ellipse]

Еще такая идея. Предлагаю искомый многочлен называть точно инвариантным относительно $G$. Пусть многочлен $R=P+Q$, причем $P$, $Q$ такие, что никакие перестановки не могут превратить никакое слагаемое из $P$ в слагаемое из $Q$ (например, они могут иметь разные коэффициенты или быть разной степени) тогда, если $P$ точно инвариантен относительно $G_1$, а $Q$ точно инвариантен относительно $G_2$, тогда $R$ точно инвариантен относительно $G_1\cap G_2$. Правильно? По-моему, все верно.

-- Сб окт 15, 2011 12:15:31 --

Как узнать, является ли данная группа пересечением других групп?

[Sonic86]

Построение многочлена, точно инвариантного относительно данной группы перестановок $G$ (для поля $P$ содержащего $\mathbb{Q}$) есть в книге Постников Теория Галуа глава Практическое вычисление групп Галуа уравнений, параграф 1. Степень построенного многочлена там совпадает с мощностью группы $G$.
Можно даже выписать - текст короткий.
Ну и выпишу:
Для многочлена $f(x_1,\dots,x_n)$ и подстановки $g$ результат действия $g$ на $f$ обозначим $f_g$.
Если $c_1,\dots ,c_n$ различны, то многочлен $h(x_1,\dots,x_n)=\sum\limits_{j=0}^nc_jx_j$ точно принадлежит группе $\{ e\}$. Его степень 1.
Для группы $G = \{ g\}$ существует $t \in P$ такое, что многочлен $\varphi (x_1,\dots,x_n) = \prod\limits_{g \in G} (t-h_g(x_1,\dots,x_n))$ принадлежит в точности группе $G$.
Детали в книге.