Задача на движение тел с перменной массой

[Dosaev]

Со старотовой площадки в поле тяжести Земли ракета движется вверх с первоначальным ускорением $a_0 =$ 9, 8 м/с2. Скорость истечения газов относительно ракеты $u = 2000$ м/с. Какое ускорение $a$ и какая скорость $v$ будут у этой ракеты через $\tau = 50$ c движения вверх без учета сопротивления воздуха?
Расход топлива в единицу времени постоянный.

Пусть вертикальная ось будет направлена вверх, запишем уравнение Мещерского в проекциях на эту ось:
$m\frac{dv}{dt} = -mg - u\frac{dm}{dt}$
$dv = -gdt - u \frac{dm}{m}.$
Как мне проинтегрировать последнее уравнение, там же три дифференциала. И вообще я в правильном направлении? Как мне потом избавиться от масс?

[whiterussian]

А что если просто записать законы сохранения импульса и энергии? Кстати, не забудьте, что ускорение свободного падения - величина не постоянная.

[Dosaev]

Разве здесь можно использовать закон сохр импульса, ведь в направлении оси действуют силы тяжести и реактивная. Ну если взят бесконечно малый промежуток времени dt то, допустим, что можно. Но если так, то вот что я думаю: $m_0 v_0 = m(v_0 + dv) -dmu.$ А закон сохранения энергии можно записать так:
$\frac{m_0v_0^2}{2} = mgdh + \frac{mv^2}{2} + \frac {dm u^2}{2}.$

как использовать начальное ускорение? Я вообще ни разу не встречал задачи с переменным ускорением. Почему оно переменное кстати? Только из-за того, что g меняется с высотой?

[whiterussian]

Сохраниние импульса можно применять всегда, так как он сохраняется. $\sum \Delta (mv) + \sum \Delta J =0,$ $dJ=d(Ft)$

[Утундрий]

Dosaev в сообщении #502516 писал(а):

Почему оно переменное кстати?

Потому что в данной задаче постоянна тяга, так как тяга равна скорости истечения помноженной на массовый расход (проверьте размерности в качестве упражнения). К сведению: отношение первоначальной тяги к первоначальному же весу обзывают "тяговооружённостью". Эта безразмерная величина по условию у нас равна единице (если до одного знака после запятой округлять). По так называемому "физическому смыслу" данная задача относится ко взлёту "на пределе". То есть - с максимально доступной двигателю тягой с наплеванием на получающиеся ускорения. Явно беспилотный полёт, ибо организемы - они нежные и более 10$g$ переваривают с трудом.

[type2b]

Зависимость массы от времени Вам известна. Подставляем в уравнение, находим ускорение от времени. Единственный вопрос -- надо ли учитывать изменение g с высотой. Для начала пренебрежем. Найдем ускорение через 50 сек, оценим, на сколько максимум могла улететь ракета и сравним с радиусом Земли. Отсюда увидим, можно ли было пренебрегать изменением g.
Теперь, имея выражение для $a(t)$, интегрированием находим скорость.
Как тут можно с пользой применить ЗСЭ, я не вижу.

[Утундрий]

type2b в сообщении #502605 писал(а):

надо ли учитывать изменение g с высотой

Смотря какого масштабу задачка. Если метеорологическая штуковина, то оно и не стоит. Но ежели амбиции погуще, вплоть до выходу на гелиоцентрическую траекторию, то весьма желательно учесть.

[svv]

Dosaev писал(а):

Как мне проинтегрировать последнее уравнение, там же три дифференциала.

Уравнение Мещерского $m\frac{dv}{dt} = -mg - u\frac{dm}{dt}$ разделим на $m$:
$\frac{dv}{dt}=-g-\frac u m \frac{dm}{dt}$
Пусть $k$ -- расход топлива в единицу времени. Тогда $\frac{dm}{dt}=-k$.
По условию $k=\operatorname{const}$, значит, $m(t)=m_0-kt$, где $m_0$ -- начальная масса ракеты, время отсчитываем от старта.
Подставим $m$ в уравнение, получим:
$\frac{dv}{dt}=-g-\frac u {m_0-kt} (-k)=-g+\frac {ku}{m_0-kt}$
Константы $m_0$ и $k$ неизвестны, для их определения надо воспользоваться условием: $\frac{dv}{dt}\vline_{t=0}=a_0$. Конечно, мы не сможем найти две константы из одного условия. Но фишка задачи в том, что это и не нужно:
$\frac {ku}{m_0-kt}=\frac{u}{T -t}$,
где $T=m_0/k$ имеет размерность времени и следующий простой смысл: это время, за которое ракета с данной начальной массой и постоянным расходом топлива выгорит без остатка (если она вся состоит из топлива ). Итак, две неизвестные константы свелись к одной -- времени жизни $T$, которое легко найти из условия для начального ускорения.

Я привел уравнение к виду
$\frac{dv}{dt}=-g+\frac {u}{T-t}$
А дальше Вы.

[Dosaev]

Спасибо большое!

[Утундрий]

Кстати, для случая $\[g = g_o \left( {R/r} \right)^2 \]$ существует элегантное соотношение для максимальной уводимой на бесконечность массы: $\[ m_k /m_o \leqslant \exp \left( { - \sqrt {2g_o R} /u} \right) \] $.