62 Киевская городская олимпиада школьников 2007

[dm]

LXII Киевская городская олимпиада юных математиков
21.01.2007



7 класс
1. Розыгрыш лото проводится выбором 5 разных шаров из 100 шаров, пронумерованных следующим образом - 00, 01, 02, ..., 99. В очередном розыгрыше последовательно выпали 5 шаров, чьи номера расположены в порядке возрастания, и в этих пяти номерах были использованы все 10 цифр. Какой наибольший номер при этом может иметь средний из пяти шар этого розыгрыша?
2. На бумаге в клетку со стороной клетки 1 нарисована замкнутая ломаная, звенья которой идут вдоль линий клеток, и никакие два звена этой ломаной не пересекаются. Обозначим количество клеток, которые попали внутрь этой ломаной через $N$, а длину этой ломаной (сумму длин всех ее звеньев) $M$.
а) Известно, что число $N$ - четное, обязательно ли число $M$ также четное?
б) Известно, что число $N$ делится нацело на 4, обязательно ли число $M$ также делится нацело на 4?
3. Назовем составное натуральное число $n$ "странным", если все его делители выписать в порядке возрастания $d_1=1<d_2<d_3<\ldots<d_k=n$, то каждый следующий делится на предыдущий, т.е. $d_{j+1}$ делится нацело на $d_j$ при $1\le j\le k-1$. Найти все "странные" натуральные числа от 1 до 100.
4. Два игрока по очереди красят строки и столбцы квадратной таблицы $6\times6$. Первый красит в желтый цвет, второй - в голубой. Красить уже раньше закрашенные строку или столбец нельзя. Всего есть 6 строк и 6 столбцов, таким образом каждый из игроков сделает ровно по 6 ходов. В конце игры, если в таблице больше зеленых клеток, чем клеток другого цвета, то побеждает первый игрок, если зеленых меньше - то побеждает второй игрок, если поровну, то игра заканчивается ничьей. Кто победит в этой игре? (Напомним, что клетка имеет зеленый цвет, если она была окрашена в желтый и голубой цвет в любом порядке).

8 класс
1. На прямой слева направо расположены домики Пятачка (А), Винни-Пуха (В), Совы (С) и Ослика Иа (И). На день рождения одновременно из своих домов вышли Пятачок (с надувным шариком), Винни (с горшком меда) и Сова в направлении дома Иа. Пятачок очень быстро бежал, и на уровне домика Винни у него лопнул шарик. Он побежал назад домой, взял другой шарик и снова побежал к Иа. Напротив дома Совы у него снова лопнул шарик, он снова побежал домой, взял третий шарик и снова побежал к ослику. Винни шел с горшком меда и понемногу его ел. Напротив дома Совы мед закончился, и он вернулся за новым медом и снова пошел к Иа. Сова шла на день рождения без остановок и приключений. Оказалось, что они пришли в гости одновременно. Зная, что дом Совы находится на расстоянии $1{,}5\text{ км}$ от дома Иа, и что Пятачок бегает вдвое быстрее чем Винни, и втрое быстрее чем Сова, найти, на каком расстоянии от домика Иа находятся дома Пятачка и Винни-Пуха.
2. Три толстяка разорвали толстую книжку на три части. Когда каждый из них посмотрел на последнюю страницу своего куска, то выяснилось, что это были 3 трехцифровых числа, в записи которых используется девять разных цифр кроме нуля. Какое наибольшее количество страниц может иметь кусок книги, который был расположен посредине среди этих оторванных кусков?
3. В трапеции $ABCD$ углы при основании $AB$ равны соответственно - $\angle DAB=120^{\circ}$ и $\angle ABC=150^{\circ}$. Основание $H$ перпендикуляра, который опущен из вершины $A$ на диагональ $BD$, расположено на средней линии $MN$ трапеции, где точка $M$ принадлежит стороне $AD$. Зная величину $AB=a$, найти основу $CD$.
4. Решить в целых числах уравнение: $2x^3+7y^3=3z^3$.
5. На числовой прямой заданы $(2n)$ точек, имеющие координаты $1,2,\ldots,(2n)$. Двое игроков по очереди ставят в любую из еще незанятых точек число "0" или число "1". После $n$ пар таких ходов рассматривается $(2n-1)$ соседних отрезков с вершинами в точках $k$ и $k+1$ при $1\le k\le 2n-1$. Если концы отрезка содержат одинаковые числа, то 1 балл получает первый игрок, если разные - то второй.
а) Кто побеждает при правильной игре обоих игроков?
б) С каким максимальным преимуществом одного из игроков может закончиться эта игра?

9 класс
1. Решить систему уравнений: $\left\{\begin{aligned} x_1+x_2&{}=-3,\\ x_2+x_3&{}=-2,\\ x_3+x_4&{}=-1,\\ x_4+x_5&{}=0,\\ x_5+x_6&{}=1,\\ x_6+x_7&{}=2,\\ x_7+x_1&{}=3. \end{aligned}\right.$
2. Решить в целых числах уравнение: $x^4+5y^4=2z^4$.
3. На прямой последовательно заданы 4 точки - $A$, $P$, $Q$, $W$, являющиеся точками пересечения биссектрисы $AL$ треугольника $ABC$ с описанной и вписанной окружностью. Зная лишь эти точки, построить треугольник $ABC$.
4. Для положительных чисел $a$, $b$ доказать неравенство: $a+b\ge\dfrac{2\sqrt{ab(1+a)(1+b)}}{1+\sqrt{ab}}$.
5. На окружности последовательно расположены вершины $(2n)$-угольника. Двое игроков по очереди ставят в любую из еще незанятых вершин число "0" или число "1". В конце игры после $n$ пар таких ходов рассматривается $(2n)$ хорд, соединяющих соседние точки - стороны этого $(2n)$-угольника. Если концы отрезка содержат одинаковые числа, то 1 балл получает первый игрок, если разные - то второй.
а) Кто побеждает при правильной игре обоих игроков?
б) С каким максимальным преимуществом одного из игроков может закончиться эта игра?

10 класс
1. Решить уравнение: $\sin(\sin x)=\cos(\sin x)$.
2. Назовем натуральное число $n$ "странным", если оно кратно 4 и удовлетворяет условию - имеет четное количество делителей, и когда все делители числа выписать в порядке возрастания $d_1=1<d_2<d_3<\ldots<d_{2k}=n$, то каждый следующий делитель с четным номером делится на предыдущий, т.е. $d_{2j}$ делится нацело на $d_{2j-1}$ для $1\le j\le k$. Найти все "странные" натуральные числа от 1 до 500.
3. На плоскости заданы точки - $P$, $Q$, являющиеся точками пересечения биссектрисы $AL$ некоторого треугольника $ABC$ с вписанной окружностью, а также точка $W$ - пересечение биссектрисы $AL$ с описанной окружностью, отличная от вершины $A$.
а) Найти геометрическое место возможного расположения вершины $A$ треугольника $ABC$.
б) Найти геометрическое место возможного расположения вершины $B$ треугольника $ABC$.
4. Пусть $a_1,a_2,\ldots,a_n$ - возрастающая арифметическая прогрессия с положительными членами. Доказать неравенство $\sqrt{\dfrac{a_1+a_{n-1}}{2a_1a_n}}(n-1)\ge\sqrt{\dfrac{1}{a_2}}+\sqrt{\dfrac{1}{a_3}} +\ldots+\sqrt{\dfrac{1}{a_n}}$.
http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=129698
5. Задан каркас $n\times n$ из проволоки. При каких натуральных значениях $n$ его можно разрезать на целое количество фигурок типа "T", в которых длина отрезка $AB=2$, а $CE=1$?

11 класс
1. Найти решения системы: $\left\{\begin{aligned}{}&\lvert x^4-17x^2\rvert\ne x^4-17x^2,\\ {}&\lvert x^2-8x-50\rvert+x^2-8x-50=0. \end{aligned}\right.$
2. Для положительных чисел $a$, $b$ доказать неравенство: $a+b\ge\dfrac{2\sqrt{ab(1+a)(1+b)}}{1+\sqrt{ab}}$.
3. Для заданного натурального числа $n$ рассмотрим последовательность символов $\{x_i\}$, удовлетворяющую следующим условиям:
I) в этой последовательности есть не более $n$ разных символов;
II) нет последовательных одинаковых символов;
III) нет подпоследовательности вида $abab$, т.е. не существует таких натуральных $j<k<l<m$, для которых $x_j=x_l$, $x_k=x_m$.
Например, для $n=5$ последовательность из 7 символов $abacade$ условиям удовлетворяет, а последовательность из 8 символов $abcadaec$ - не удовлетворяет, поскольку $x_1=x_4=a$ и $x_3=x_8=c$.
Определить, какое наибольшее количество символов может содержать такая последовательность?
4. Найти все функции $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ такие, что для всех действительных $x$, $y$ выполняется равенство:

$$f\bigl(x^2-f^2(y)\bigr)=x\,f(x)-y^2.$$

5. На плоскости отмечены точки $A$ и $P$. Рассмотрим все такие точки $B$, $C$ этой плоскости, что $\angle ABP=\angle MAB$ и $\angle ACP=\angle MAC$, где $M$ - середина отрезка $BC$. Докажите, что все описанные окружности около треугольника $ABC$ для разных точек $B$ и $C$ проходят через некоторую фиксированную точку, отличную от точки $A$.

http://community.livejournal.com/ru_oly ... 35032.html
http://matholymp.kiev.ua/index.php?p=sh ... d=3&area=1
условия в одном файле: .TEX .PDF
жюри: http://dmitin.livejournal.com/59709.html
Предварительные результаты: http://univer.org.ua/results.zip (.XLS.ZIP)

[Capella]

9 класс

Задача 1

$x_1 = 0,\phantom{0} x_2 = -3, \phantom{0} x_3 = 1, \phantom{0} x_4 = -2, \phantom{0} x_5 = 2, \phantom{0} x_6 = -1, \phantom{0} x_7 = 3$

Добавлено спустя 9 минут 9 секунд:

1 задача 10 класса, по моему, уже разбиралась на форуме, по моему, даже с графической частью.

[neo66]

9 класс, задача 2:
(x,y,z) = (0,0,0); - единственное решение.

[Capella]

8 класс

Задача 2

Первый толстяк - 964 страница, второй толстяк - 875 страница, третий толстяк - 123 страница. Таим образом самый толстый кусок в 752 страницы.

[RIP]

Может, начнем выкладывать решения
Неравенство

$$a+b\geqslant\frac{2\sqrt{ab(1+a)(1+b)}}{1+\sqrt{ab}}$$

эквивалентно очевидному

$$(\sqrt a-\sqrt b)^2\geqslant\frac{2\sqrt{ab}(\sqrt a-\sqrt b)^2}{(1+\sqrt{ab})(1+\sqrt{ab}+\sqrt{(1+a)(1+b)})}$$

[Capella]

RIP писал(а):

Может, начнем выкладывать решения

Это можно , 11 класс, задача 4

$f(x) = x$ (эта задача правда похоже на ту, которую Вы задавали, а единственность доказывается тогда так-же, как сделал это maxal)

[RIP]

Capella писал(а):

11 класс, задача 4

$f(x) = x$ (эта задача правда похоже на ту, которую Вы задавали, а единственность доказывается тогда так-же, как сделал это maxal)

Либо я совсем тупой, либо одно из двух, но я не вижу, как здесь доказывается единственность по аналогии с той задачей (Вы про $f(f(f(x)))+4x=f(5x)$?). Мое решение довольно длинное и неуклюжее. Не могли бы Вы расписать поподробней.

[neo66]

Класс 9.
Задача 3.

Центр вписанной окружности O расположен в середине отрезка PQ.
Осталось заметить, что OW=BW=AW.

[RIP]

А я попробую порешать 7й класс
Я так понимаю, в первой задаче ответ 76?
Во второй задаче: $M$ всегда четно (независимо от четности $N$), т.к. ломаная замкнута. В пункте б) ответ, очевидно, нет.

[Capella]

Тогда так:

Разбиваем на две части и имеем два уравнения, которые должны иметь одно и тоже решение:


$x\cdot f(x) = x^2$
$f^2(y) = f(y)\cdot f(y)= y^2 = y \cdot y$

Сразу видно из первого хотя-бы, что решение единственно.

[RIP]

Capella писал(а):

Тогда так:

Разбиваем на две части и имеем два уравнения, которые должны иметь одно и тоже решение:

$x\cdot f(x) = x^2$
$f^2(y) = f(y)\cdot f(y)= y^2 = y \cdot y$

Опять не догнал
Что значит "разбиваем на две части"? Как получаются эти уравнения?

[Capella]

Эти выражения получаются из-за того, что аргумент и само значение функции зависят от одной и той-же переменной.

[RIP]

Зад. 8-4.
Единственное решение $x=y=z=0$ (рассмотрение $\pmod7$)

Зад. 10-4
Для $k=2,3,\ldots,n$

$$\left(\sqrt{\frac1{a_k}}+\sqrt{\frac1{a_{n+2-k}}}\right)^2\leqslant2\left(\frac1{a_k}+\frac1{a_{n+2-k}}\right)=\frac{2(2a_1+nd)}{a_ka_{n+2-k}}\leqslant\frac{2(2a_1+nd)}{a_2a_{n}}\leqslant\frac{2(a_1+a_{n-1})}{a_1a_{n}}$$

(Последнее нер-во проверяется в лоб)
Значит,

$$\sqrt{\frac1{a_k}}+\sqrt{\frac1{a_{n+2-k}}}\leqslant2\sqrt{\frac{a_1+a_{n-1}}{2a_1a_n}}$$

Осталось просуммировать по $k$

[Capella]

По поводу 4 задачи за 11 класс

После обсуждения с RIPом выяснили, что в данном случае решение действительно единственное, но задачу можно модифицировать и тогда будут и другии решения.
Если кому-то интересно, то вот условие, предложенное RIPом:

$f(x^2 - y^2) = x\cdot f(x) - y \cdot f(y)$

[RIP]

neo66 писал(а):

Класс 9.
Задача 3.

Центр вписанной окружности O расположен в середине отрезка PQ.
Осталось заметить, что OW=BW=AW.

Очепятка: $OW=BW=CW$