Найти экстремали

[vanja]

$\\ 1)\int_{0}^{e} (xy'^{2}+yy')dx,y(1)=0, y(e)=1\\$ получаю, что $ux=C_{1}\\ y=C_{1}\frac{x^2}{2}+C_{2}\\$ далее я нахожу $C_{1},C_{2} $\\ $C_{1}=-2C_{2},C_{2}=-\frac{1}{e^{2}+1}\\ y=\frac{x^2}{e^{2}-1}-\frac{1}{e^{2}+1}$
правильно ли я нашел экстремаль?
2)как поступить с таким примером?
$\int_{0}^{\frac{3\pi}{2}}(y^2-4ycosx-y^{12})dx,y(0)=0, y(\frac{3\pi}{2})=-\frac{3\pi}{2}$

[svv]

vanja писал(а):

$ux=C_{1}$

Наверное, $u=y'$, и тогда это правильно. Но как из этого дальше получилось $y=C_{1}\frac{x^2}{2}+C_{2}$?

vanja писал(а):

$\int_{0}^{\frac{3\pi}{2}}(y^2-4ycosx-y^{12})dx$

Под интегралом точно нигде нет $y'$?

Косинус будет выглядеть красивее, если его кодировать так: \cos
Сравните: $\cos x$ и $cos x$.
Аналогично другие элементарные функции.

[vanja]

svv в сообщении #502443 писал(а):

vanja писал(а):

$ux=C_{1}$

Наверное, $u=y'$, и тогда это правильно. Но как из этого дальше получилось $y=C_{1}\frac{x^2}{2}+C_{2}$?

получилось так
$\\ ux=C_{1}\\ y'=C_{1}x\\ y=\int C_{1}xdx\\ y=C_{1}\frac{x^2}{2}+C_{2} $

Цитата:

vanja писал(а):

$\int_{0}^{\frac{3\pi}{2}}(y^2-4ycosx-y^{12})dx$

Под интегралом точно нигде нет $y'$?

вы правы, опечатка
$\int_{0}^{\frac{3\pi}{2}}(y^2-4y\cos x-y'^{2})dx$

[svv]

Давайте сначала с первым заданием разберемся. Что такое у Вас $u$?

[vanja]

$u=y'$

[svv]

vanja, посмотрите внимательно: как можно из $y'x=C_1$ получить $y'=C_1 x$? Это ошибка, и она повлияла на все дальнейшее.

Представьте: $y'=3, x=7, C_1=21$.
Выполняется $y'x=C_1$? Выполняется, еще как.

А разве можно отсюда сделать вывод, что $y'=C_1 x$, то есть $3=21\cdot 7$?

И какой тогда вывод нужно сделать?

[vanja]

т.е. $y=C_{1}\ln x+C_{2}$ ?

[svv]

Да, конечно.

[vanja]

ну тогда получится, что $ C_{1}=1,C_{2}=0, y=\ln x $

[vanja]

что делать со вторым примером?

[svv]

Так он же совершенно аналогичный. Вы первый пример как решали? Составляли уравнение Эйлера?
Что-нибудь делайте, я скажу, если будет не так.

[vanja]

$\\ \int_{0}^{\frac{3\pi}{2}}(y^2-4y\cos x-y'^{2})dx\\ F_{y}=2y-4\cos x \\ F_{y'}=-2y'\\ \frac{d}{dx}F_{y'}=2y''\\ 2y-4\cos x+2y''=0 $

[svv]

$F_{y}=2y-4\cos x$. Это правильно.
$F_{y'}=-2y'$. Это тоже правильно.
$\frac{d}{dx}F_{y'}=2y''$. А это неправильно.
$2y-4\cos x+2y''=0$. А это -- о чудо! -- опять правильно.

[vanja]

ошибка найдена
а далее
$\\ y=C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{x}\\ 2A\cos x -2B\sin x=2\cos x\\ 2A=2,A=1\\ B=0\\ y_{chastn}=\sin x\\ y(x)=C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{x}+\sin x\\ C_{1}=-C_{2} $
а дальше не получается

[svv]

vanja, погодите, у Вас вопрос был по вариационному исчислению?
Или Вы только учитесь решать обыкновенные линейные ДУ с постоянными коэффициентами?
Сначала освойте решение простейших ДУ, потом переходите к экстремалям.
Это все равно что брать производные, не освоив толком умножение и деление.

Вы можете задать вопрос "как решить уравнение $y''+y=2\cos x$ ?" в другой теме.