Уравнение колебания струны

[phoenix91]

Необходимо решить краевую задачу для одномерного волнового уравнения

$$\frac{\partial^2 U}{\partial t^2}=a^2 \frac{\partial^2 U}{\partial x^2}-2b\frac{\partial U}{\partial t}$$

при начальных условиях:

$$\begin{cases} \left. \;\;U \right|_{t=0}=0\;,\\ \left. \frac{\partial U}{\partial t} \right|_{t=0}=0 \end{cases}$$

и граничных условиях:

$$\begin{cases} \left. U \right|_{x=0}=0\;,\\ \left. U \right|_{x=l}\;=A\sin{\omega t} \end{cases}$$

Решение требуется получить методом Фурье, но из-за граничного условия при $x=l$ искомую функцию $U(x,t)$ ищем как $U(x,t)=V(x,t)+W(x,t)$. Для функции $V(x,t)$ ставим граничные условия

$$\begin{cases} \left. V \right|_{x=0}=0\;,\\ \left. V \right|_{x=l}\;=0 \end{cases}$$

и начальные

$$\begin{cases} \left. \;\;V \right|_{t=0}=\left. -W\right|_{t=0}\;,\\ \left. \frac{\partial V}{\partial t} \right|_{t=0}=\left. -\frac{\partial W}{\partial t}\right|_{t=0} \end{cases}$$

Функцию $W(x,t)$ ищем подбираем так, чтобы она удовлетворяла дифференциальному уравнению в частных производных

$$\frac{\partial^2 W}{\partial t^2}=a^2 \frac{\partial^2 W}{\partial x^2}-2b\frac{\partial W}{\partial t}$$

и граничным условиям

$$\begin{cases} \left. W \right|_{x=0}=0\;,\\ \left. W \right|_{x=l}\;=A\sin{\omega t} \end{cases}$$

Пока удалось найти ее только для ДУ $\frac{\partial^2 W}{\partial t^2}=a^2 \frac{\partial^2 W}{\partial x^2}$, для $\frac{\partial^2 W}{\partial t^2}=a^2 \frac{\partial^2 W}{\partial x^2}-2b\frac{\partial W}{\partial t}$ никак не получается подобрать.

[ewert]

Не заморачивайтесь и берите $W(x,t)=\frac{Ax}{l}\,\sin\omega t$. Волновое уравнение, правда, станет неоднородным, но для метода Фурье (в варианте разложения по собственным функциям) это не особо принципиально.

[Полосин]

А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. Уравнения математической физики.