Арифметическая прогрессия (Мордкович 9кл. 23.80)

[dnoskov]

Звавич писал(а):

23.80. Значения углов выпуклого стовосьмидесятиугольника, выраженные в градусах, составляют арифметичесскую прогрессию. Найдите величину большего угла стовосьмидесятиугольника, если разность прогрессии $1^\circ$.

Стало быть, по-условию, имеем конечную прогрессию с $n=180$, $d=1^\circ$. Также, по-условию, располагаем суммой всех её членов: $S_{180}=180\cdot 178$, т.к. сумма углов выпуклого $n$-угольника равна $(n-2)\cdot 180^\circ$. Но, т.к. углы образуют данную нам прогрессию, то: $S_{180}=90\cdot (\alpha_1+\alpha_{180})$, т.е. имеем:

$$90\cdot (\alpha_1+\alpha_{180})=180\cdot 178 \Rightarrow \alpha_1+\alpha_{180}=356^\circ \Rightarrow 2\alpha_1+ 179^\circ = 356^\circ \Rightarrow \alpha_1 = 88,5^\circ$$

Т.е. получили наименьший из данных углов. Поэтому наибольший будет $\alpha_{180}=\alpha_1+179^\circ=267,5^\circ$. Это означает, что данный $180$-угольник не выпуклый, поэтому задача не имеет решения.

Хотя она конечно же должна иметь решение, т.к., вероятно, существует какая-нибудь хитрость, которую я пропустил.

Не соблаговолит ли премногоуважаемое сообщество оказать мне посильную помощь в нахождении моей оплошности?

[ИСН]

Похоже, это афтар задачи что-то пропустил.

[dnoskov]

А я заметил, что если в прогрессии $\alpha_n=88,5;89,5;90,5;\ldots;267,5$, для $\alpha_n>180$ вычитать из $\alpha_n$ $180$, то получим следующую АП $\alpha_1=0,5;1,5;\ldots;179,5$

В ней все углы меньше $180^\circ$, но её сумма больше данной.

Собственно из-за того, что такая прогрессия существует, я и был в недоумении.

[svv]

Но даже с такими углами $\alpha_1=0.5$, $\alpha_2=1.5$, $\alpha_3=2.5$ -- трудно представить, как он может быть выпуклым. (Нет, голову на отсечение не дам, что это невозможно.)

[dnoskov]

Но ведь они не обязательно должны подряд идти. Т.е. это в прогрессии порядок их следования таков: $\alpha_1=0.5$, $\alpha_2=1,5$ и т.д., а в многоугольнике-то они могут идти и например вот так: $\alpha_1$, $\alpha_{180}$, $\ldots$ Такой порядок, правда, не делает многоугольник выпуклым, но ведь это не значит, что не существует какого-нибудь другого порядка, такого, при котором многоугольник стал бы вдруг выпуклым. Но я не собираюсь заниматься выяснением этого возможного порядка. Как говорится: «Сделал дело — бабу с возу!» (т.е. в данном случае — задачу с возу).

…

И вообще, никто же не говорил, что в этом многоугольнике не может быть двух равных углов. Наименьший угол найден. Так что остаётся разсудить так: наибольший угол не может превышать $180^\circ$, поэтому: $\alpha_1+(n-1)<180$.
А если сразу учесть, что $\alpha_1 = 88,5$, то $\alpha_1+(n-1)\leqslant179,5$, т.е. получаем:

$$87,5+n\leqslant 179,5 \Rightarrow n\leqslant92$$

Т.е. наибольший член прогрессии, образуемой значениями углов есть член за номером $92$, а то и меньше. Поэтому $\alpha_{92}=\alpha_1+91=179,5$, есть наибольший возможный угол для подобного многоугольника.

… Однако сумма полученной прогрессии $\alpha_n=88,5;89,5;...;179,5$

$$S_{92}=\frac{92(88,5+179,5)}{2}=12328 \ne 180\cdot 178 = 32040$$

-- Чт ноя 10, 2011 20:09:46 --

Но это, наверное, не создаёт трудности, т.к. мы (т.е. я) внегласно предположили наличие произвольных равенств между углами в самом многоугольнике.

-- Чт ноя 10, 2011 20:13:28 --

Правда $\alpha_1$ мы находили изходя из того предположения, что в прогрессии $180$ разных членов. Так что … да, наверное это в задаче что-то не досказано.

[gris]

Внутренний угол в выпуклом многоугольнике не может быть больше или равняться 180 градусов. Предположение, что прогрессию составляют значения углов при допущении, что несколько углов могут иметь равные значения и "не считаются", слишком вычурно и не приводит к однозначному ответу. Стовосьмиугольник также не катит. Предположение, что имелись в виду внешние углы приводит к аналогичной задаче.

У меня два предложения. Считать разность в $1'$ или рассматривать "центральные" углы, сумма которых равна 360 градусов.

Не могу найти в инете этого задачника

[dnoskov]

gris в сообщении #502140 писал(а):

У меня два предложения. Считать разность в $1'$ или рассматривать "центральные" углы, сумма которых равна 360 градусов.

Я иногда очень много времени трачу на выяснение того, в каком конкретно месте в задаче и какая именно допущена ошибка (наборщиками, конечно ), и это, порой, бывает очень увлекательно — «переспорить» в некотором смысле авторов задачника, но мне кажется, что такие задачи (указать опечатку) нужно давать в ПедВУЗах, а никак не в 9-м классе.

gris в сообщении #502140 писал(а):

Не могу найти в инете этого задачника

А вот, я нашёл (но вообще, у меня бумажный).

[gris]

Спасибо. А я именно Мордковича смотрел. Вот следующая задача 23.81 про 90-угольник решается.

-- Пт ноя 11, 2011 08:18:11 --

ввв

[dnoskov]

gris в сообщении #502331 писал(а):

именно Мордковича смотрел

Тут я, признаться, немного схитрил (но получилось очень компактно). В заголовке цитаты написано "Звавич писал(а):"