Многомерные расширения ТФКП

[glonas]

Time в сообщении #501964 писал(а):

glonas
Скажите, Вы действительо уверены, что создание самой ТФКП с самого начала сопровождалось абсолютно строгими в математическом плане выкладками и без оставления без внимания ряда проблем (в этом и есть математическая нестрогость), решение которых по принципу "все и сразу" нормальными людьми просто не возможно?

Понимаете, Time, за пять лет изучения математики меня приучили к мысли, что термины "математически нестрогое" и "неправильное" - эквивалентны.
Часто бывает такое, что первое придуманное доказательство неоптимальное, неуклюжее, но оно математически абсолютно строгое (последователи потом придумают более короткое доказательство). Если же доказательство нестрогое, то автор не делает из него глобальных выводов, а работает над строгостью. У Вас как-то получается наоборот - сперва делаются глобальные выводы, а потом сообщается, что доказательство, оно... того... нестрогое. Я понимаю, что у Вас такой фирменный стиль, но выглядит все со стороны довольно удручающе.

[Time]

glonas,
Я прекрасно отдаю отчет, что именно мой "фирменный стиль" часто вызывает раздражение и резкую ответную реакцию. Однако хотел бы обратить внимание легко раздражаемых товарищей, что смысл может содержаться не только в безупречно выстроенных математических доказательствах или в непротиворечивых физических постулатах и гипотезах. Если за неприемлимой для себя формой кто-то не в состоянии разглядеть стоящего за ней содержания, тем хуже это для наблюдающего. А если содержание, все же, где то про себя замечается (иначе зачем посещать бестолково преподносимую и пустую по своей основной идее тему), но вместо обсуждения именно его только и говорить о допущенных ошибках и удручающих впечатлениях, то у меня это так же вызывает лишь ответное удручение. Во всяком случае, в отношении так поступающих..
Извините, но по существу тематики, упоминавшихся на последних страницах темы статей, у Вас лично есть что сказать? Или как Kallikanzarid некоторое время назад, вместо чтения специально подготовленных и достаточно выверенных статей предпочитаете обсуждать одни только форумные загогулины?

[g______d]

Time, спасибо за ответ. Действительно, в учебниках по комплексному анализу оператор $\partial_{\bar z}$ абсолютно строго вводится как $\frac12 (\partial_{x}+i\partial_y)$, т. е. перехода к новым координатам на самом деле не происходит. Также, видимо, можно сделать с двойными числами.

Вы сказали, что определение $h$-голоморфной функции состоит в том, что $\partial_{\bar h}F=0$. Но разве при этом не получатся просто гиперболические условия Коши-Римана? Другими словами, не будет ли это то же, что и $h$-аналитичность? Как я помню, делался какой-то акцент на различии $h$-голоморфности и $h$-аналитичности.

[Time]

Я весьма долго именно так и считал. Но когда мы с соавтором известных Вам последних статей приступили к их оформлению, он придерживался иной точки зрения, считая, что множество h-аналитических функций существенно больше аналитических. И меня почти переубедил.. (Вы, если я ничего не путаю, точно так же, кажется, где-то вверху утверждали). В результате появилось предложение "сузить" класс "хороших" функций двойной переменной, введя понятие $h$-голоморфных функций так, что бы они взаимнооднозначно соответствовали аналитическим функциям комплексной переменной, где совпадение множества последних с голоморфными функциями всем известно. Недавно мой соавтор пересмотрел свою точку зрения и теперь, на сколько я знаю, согласен, что и для двойных чисел $h$-голоморфность и $h$-аналитичность совпадают как и на комплексной плоскости. Однако, когда Вы или кто-то другой утверждают, что множество $h$-аналитических функций больше, чем обычных аналитических, мне проще согласиться, чем долго и путанно объяснять, почему в наших статьях двухлетней давности появился акцент на эту самую $h$-голоморфность. Не ошибается, как говорится, только тот, кто ничего не делает. А у нас этих ошибок - "как грязи"...

Кстати, тут есть еще одна похожая проблема. Многие мои коллеги считают, что множество конформных преобразований плоскости двойной переменной много больше множества конформных преобразований комплексной плоскости, которым в свою очередь соответсвуют аналитические функции. Думаю, тут так же просто имеется некая недоработка, которая в скором времени будет исправлена в пользу установления полного равноправия. Сам я думаю, что "лишние" конформные преобразования плоскости двойной переменной на самом деле являются аналогами квазикомформных преобразований комплексной плоскости.

[g______d]

Time в сообщении #502022 писал(а):

Я весма долго так и считал. Но когда мы с соавтором известных Вам последних статей приступили к их оформлению, он придерживался иной точки зрения, считая, что множество h-аналитических функций существенно больше аналитических. И меня почти переубедил.. (Вы, если я ничего не путаю, точно так же, кажется, где-то вверху утверждали).

Да, и я по-прежнему точно так же считаю, как и считал вверху. $h$-аналитических функций столько же, сколько пар гладких функций. Это существенно больше, чем комплексно-аналитических.

Time в сообщении #502022 писал(а):

Недавно мой соавтор пересмотрел свою точку зрения и теперь, на сколько я знаю, согласен, что и для двойных чисел $h$-голоморфность и $h$-аналитичность совпадают как и на комплексной плоскости.

Хорошо. Тогда оба определения --- это пары гладких функций, да? Я как раз надеялся, что Вы объясните, как сузить этот класс до чего-то разумного (и думал, что у Вас в статье это написано, просто я не смог прочитать). С парами гладких функций достаточно сложно (и, как мне кажется, странно) работать по аналогии с комплексно-аналитическими функциями. Например, там нет ничего и близко похожего на принцип аналитического продолжения.

[Time]

g______d в сообщении #502027 писал(а):

Да, и я по-прежнему точно так же считаю, как и считал вверху. $h$-аналитических функций столько же, сколько пар гладких функций. Это существенно больше, чем комплексно-аналитических.

Давайте попробуем и тут разобраться. Лично мне проще показать на примере. Попробуйте указать пару таких гладких функций одной переменной (определенных на всей вещественной оси) задающих $h$-аналитическую функцию, для которой не найдется взаимнооднозначного аналога на комплексной плоскости в виде соответствующей аналитической функции.

g______d в сообщении #502027 писал(а):

С парами гладких функций достаточно сложно (и, как мне кажется, странно) работать по аналогии с комплексно-аналитическими функциями. Например, там нет ничего и близко похожего на принцип аналитического продолжения.

Давайте сперва с первым утверждением разберемся, может потом и с аналитическим продолжением ясность появится. Естественно, не для пары никак несвязанных между собой гладких функций, а на плоскости двойной переменной, где эти две функции задают несколько более связанную структуру, чем сами по себе эти две функции являются.

[g______d]

Time в сообщении #502032 писал(а):

Давайте попробуем и тут разобраться. Лично мне проще показать на примере. Попробуйте указать пару таких гладких функций одной переменной (определенных на всей вещественной оси) задающих $h$-аналитическую функцию, для которой не найдется взаимнооднозначного аналога на комплексной плоскости в виде соответствующей аналитической функции.

Понимаете, чтобы утверждение "не найдется аналога" стало математическим, нужно указать критерии, по которым одно можно считать аналогом другого. Т. е. я бы понял, если бы Вы предъявили отображение пар гладких функций в комплексно-аналитические и просили дать контрпример к тому, что оно является взаимно однозначным. Это всегда пожалуйста.

Другая крайность состоит в том, что теоретико-множественно в этих множествах одинаковое количество элементов, поэтому биекция существует (точно так же, как, например, между точками $\mathbb R$ и $\mathbb R^2$). Я хотел сказать, что не существует сколько-нибудь разумной/естественной биекции.

Проблема в том, что гладкую функцию можно "пошевелить" в окрестности любой точки, не меняя ее вне этой окрестности. Аналитическую функцию нельзя, там есть принцип аналитического продолжения. Т. е. аналитические функции --- существенно более "жесткий" объект, чем гладкие. Очень сомнительно естественное соответствие между классами "жестких" и "мягких" функций. Примерно этим обусловлено различие вещественного и комплексного анализа.

Возможно, если я Вас не убедил, есть смысл показать часть Вашей фразы, которую я процитировал, любому профессиональному математику, которого Вы знаете. Ну или тому же Вашему соавтору (как я понял, он больше физик).

[glonas]

Time в сообщении #502014 писал(а):

glonas,
Я прекрасно отдаю отчет, что именно мой "фирменный стиль" часто вызывает раздражение и резкую ответную реакцию. Однако хотел бы обратить внимание легко раздражаемых товарищей, что смысл может содержаться не только в безупречно выстроенных математических доказательствах или в непротиворечивых физических постулатах и гипотезах. Если за неприемлимой для себя формой кто-то не в состоянии разглядеть стоящего за ней содержания, тем хуже это для наблюдающего. А если содержание, все же, где то про себя замечается (иначе зачем посещать бестолково преподносимую и пустую по своей основной идее тему), но вместо обсуждения именно его только и говорить о допущенных ошибках и удручающих впечатлениях, то у меня это так же вызывает лишь ответное удручение. Во всяком случае, в отношении так поступающих..
Извините, но по существу тематики, упоминавшихся на последних страницах темы статей, у Вас лично есть что сказать? Или как Kallikanzarid некоторое время назад, вместо чтения специально подготовленных и достаточно выверенных статей предпочитаете обсуждать одни только форумные загогулины?

Вы знаете, что меня интересуют гиперболические кватернионы Сегрэ. За темой я слежу "про традиции" - вдруг что-нибудь интересное появится. Тема голоморфных функций меня не интересует. Но заявление про то, что "мы не ставили перед собой задачи быть абсолютно строгими в математическом плане" выглядит на матфоруме очень импозантно. Собственно, именно это я и хотел отметить.

[Kallikanzarid]

Time в сообщении #502014 писал(а):

Или как Kallikanzarid некоторое время назад, вместо чтения специально подготовленных и достаточно выверенных статей предпочитаете обсуждать одни только форумные загогулины?

Когда Kallikanzarid поборет лень, он таки посчитает кривизну метрики, индуцированной голоморфной в окрестности точки функцией Метрика $\frac{1}{x^2 + y^2}(\mathrm{d}x^2 + \mathrm{d}y^2)$ и в правду плоская, но мне как-то не верится, что то же самое будет и в общем случае.

[Time]

g______d в сообщении #502036 писал(а):

Понимаете, чтобы утверждение "не найдется аналога" стало математическим, нужно указать критерии, по которым одно можно считать аналогом другого. Т. е. я бы понял, если бы Вы предъявили отображение пар гладких функций в комплексно-аналитические и просили дать контрпример к тому, что оно является взаимно однозначным. Это всегда пожалуйста.

Я кажется понял причину наших разногласий по данному вопросу. Вы в определении $h$-аналитичности опираетесь на гиперболические условия Коши-Римана, как было в случае комплексной плоскости. Эта логика принята практически всеми: и Лаврентьевым с Шабатом, и многими моими знакомыми, кто занимался функциями двойной переменной, да и сам я ее принимал..
Однако, совсем не очевидно, что это самый удобный и логичный способ. По крайней мере, он не единственный. Соответcтвующий вариант взялся из требования независимости производной "хорошей" функции двойной переменной от направления. Следствием этого является также тесная связь функции, обладающей таким замечательным свойством с задаваемым ею конформным преобразованием, не меняющим плоскостность преобразовываемого пространства. Дополнительную основательность такому варианту придает так же идеальность срабатывания его полного аналога на комплексной плоскости. Но именно этого, похоже, и нельзя было принимать. Более того, похоже, даже взятое за определение $h$-голоморфности:
$F_{,\bar h}=0$
не логично.
Полагаю, на много более удобным и логичным будет вариант определения $h$-аналитичности и совпадающей с ней $h$-голоморфности связанный со следующей формулой:
$F(h)=F(x_1)e_1+F(x_2)e_2$, (1)
которая у нас не раз мелькает.
Тут использован изотропный базис для которого:
$e_1=(1+I)/2; e_2=(1-I)/2;$
$x_1=t+x; x_2=t-x;$
Легко видеть, что это частный случай того, что обычно принимают и прямо следует из гиперболических условий Коши-Римана:
$F(h)=F_1(x_1)e_1+F_2(x_2)e_2$. (2)
Вот в этом частном случае (1), похоже, и можно реализовать то, что много раз декларировалось мною как важное желание, а именно, установить взаимнооднозначное соответствие между аналитическими и $h$-аналитическими функциями, причем голоморфность там и там будет полностью совпадать с аналитичностью. То, что конформность останется связанной с функциями (2) пережить можно, тем более, что есть на данный счет соображения, которые я высказывал в предыдущем своем посте.
Собственно, такое решение довольно давно назревало, можно например посмотреть обсуждавшийся сборник на стр.104 и 105, где говорится, что функции двойной переменной вида:
$F(h)=F_1(x_1)e_1+F_2(x_2)e_2$.
не могут рассматриваться как аналитические и дается доказательство этому, но почему не был сделан окончательный шаг - не понимаю...
Как Вам такой "урезанный" вариант определения $h$-аналитичности и $h$-голоморфности?

-- Чт ноя 10, 2011 18:05:37 --

Kallikanzarid в сообщении #502070 писал(а):

Когда Kallikanzarid поборет лень, он таки посчитает кривизну метрики, индуцированной голоморфной в окрестности точки функцией Метрика $\frac{1}{x^2 + y^2}(\mathrm{d}x^2 + \mathrm{d}y^2)$ и в правду плоская, но мне как-то не верится, что то же самое будет и в общем случае.

А Вы когда поборете лень, посчитайте сразу для общего случая, заодно рассматривая и аналогичные функции двойной переменной. Можно сразу взяв случай многомерных плоских финслеровых пространств связанных с коммутативно-ассоциативными гиперкомплексными числами.

[g______d]

В новом определении $F_1$ и $F_2$ --- это функции из каких классов? Если просто гладкие, то это как раз и есть практически определение Лаврентьева и Шабата.

[Time]

glonas в сообщении #502040 писал(а):

Вы знаете, что меня интересуют гиперболические кватернионы Сегрэ. За темой я слежу "про традиции" - вдруг что-нибудь интересное появится. Тема голоморфных функций меня не интересует. Но заявление про то, что "мы не ставили перед собой задачи быть абсолютно строгими в математическом плане" выглядит на матфоруме очень импозантно. Собственно, именно это я и хотел отметить.

На сколько я понял, то, что Вы называете кватернионами Сегре чаше называют бикомплексными числами. Если это они и есть, то последние можно рассматривать как комплексное расширение алгебры двойных чисел (по аналогии с комплексным расширением алгебры обычных действительных чисел, но с той разницей, что за двойными числами стоит геометрия уже двумерного пространства, а их свойства еще не на столько хорошо изучены, как в свое время была изучена алгебра действительных чисел). В любом случае, странно, если Вас действительно интересуют свойства бикомплексных чисел, не интересоваться $h$-голоморфностью двойных чисел. Без этого, функции от бикомплексных чисел и их голоморфность вряд ли можно надеяться понять в полном объеме. Предлагаю, вместо пикировки, поговорить именно об интересующей Вас алгебре. Она совсем рядышком находится как с алгеброй $H_2$, так и с алгеброй $H_4$, которая, вероятно, совпадает с алгеброй гиперболических кватернионов Сегре. Может Вы выпишите тут таблицы умножения для эллиптических и гиперболических кватернионов Сегре? Тогда можно будет уже точно сказать как они соотносятся с алгебрами бикомплексных и четверных чисел..

-- Чт ноя 10, 2011 18:31:14 --

g______d в сообщении #502101 писал(а):

В новом определении $F_1$ и $F_2$ --- это функции из каких классов? Если просто гладкие, то это как раз и есть практически определение Лаврентьева и Шабата.

Вы не правильно меня поняли. Новое определение связано с формулой (1), в ней только одна гладкая функция но от двух разных аргументов. А формула с $F_1$ и $F_2$, действительно, полностью соответствует $h$-аналитичности по Лаврентьеву и Шабату. Предлагается от этого определения отказаться в пользу более узкого c одной гладкой функцией..

[g______d]

А, плохо прочитал. Но одна гладкая функция не то что бы решает проблему, например, с принципом аналитического продолжения или с разложением в ряд --- для одной функции тоже справедливы неформальные аргументы, которые я приводил выше.

[Time]

g______d в сообщении #502107 писал(а):

А, плохо прочитал. Но одна гладкая функция не то что бы решает проблему, например, с принципом аналитического продолжения или с разложением в ряд --- для одной функции тоже справедливы неформальные аргументы, которые я приводил выше.

Предлагаю решать вопросы последовательно. При таком "урезанном" определении "h"-аналитичности и "h"-голоморфности Вы согласны, что устанавливается взаимнооднозначное их соответствие с аналитическими и голоморфными функциями комплексной переменной? Если что, алгоритм установления соответствия был описан в первой обсуждавшейся статье сборника, начинавшейся на стр.16.

[g______d]

Time в сообщении #502110 писал(а):

Предлагаю решать вопросы последовательно. При таком "урезанном" определении "h"-аналитичности и "h"-голоморфности Вы согласны, что устанавливается взаимнооднозначное их соответствие с аналитическими и голоморфными функциями комплексной переменной?

Нет, не согласен. Ровно по той же причине, которую я тогда указывал. У комплексно-аналитических функций есть принцип аналитического продолжения, а у гладких --- нет.

-- 10.11.2011, 19:00 --

Посмотрел я Ваш алгоритм. Там действительно написано, как для некоторых элементарных аналитических функций устроен их "гиперболический" аналог. Но функции бывают не только элементарные! Там что-то написано про ряды, да. Я не исключаю, что этот алгоритм можно продолжить даже на сходящиеся ряды Тейлора. По крайней мере, на это есть шансы.

Но обратного алгоритма там нет, и Вы его никогда не напишете.

Понимаете, гладкие функции не обязательно заданы формулой и не обязательно раскладываются в ряды. Их гораздо больше.

Вы пытаетесь работать с функциями, как с формулами. Эта точка зрения исчерпала себя во второй половине 19 в. Функция --- это отображение с определенными свойствами (зависящими от того, какой класс функций рассматривается). Для произвольно выбранной гладкой функции практически наверняка просто теоретически нельзя выписать формулу.