Не могу никак разобраться с комбинаторикой

[uni]

Доказать эквивалентность выражений. Помогите.


Откудова взялось:
http://forum.exponenta.ru/viewtopic.php?t=5481

[RIP]

$$\binom{\frac12}n=\frac{\frac12(\frac12-1)\ldots(\frac12-(n-1))}{n!}=\frac{(-1)^{n-1}1\cdot3\cdot\ldots\cdot(2n-3)}{2^nn!}=\frac{(-1)^{n-1}\cdot1\cdot3\cdot\ldots\cdot(2n-1)}{2^nn!(2n-1)}$$

Легко видеть, что справа стоит то же самое, т.к.

$$\frac{(2n)!}{n!}=2^n\cdot1\cdot3\cdot\ldots\cdot(2n-1)$$

[uni]

Ну, что тут можно сказать? Респект, однозначно. Целую страницу исписал, никак не мог доказать, всё вылезали лишние скобки и члены. Везде были ошибки... будем тренироваться.

Спасибо.

Может кто знает способ по-проще найти:
$\int_0^\pi{\cos{\phi}\cdot\arctg{(k\cdot \cos{\phi})} d\phi}$

[Brukvalub]

А дифференцировать по параметру к не пробовали?

[uni]

Теперь попробовал, было бы здорово, если бы кто показал как получается:

$$\int \frac{\cos^2{x} dx}{1+k^2\cdot \cos^2{x}} = \frac {\arctg{ \frac {k^2 \cdot \sin(2 x)}{k^2 \cdot \cos(2x) + (\sqrt{k^2 + 1} + 1)^2}} + x \cdot (\sqrt{k^2 + 1} - 1)}{k^2 \cdot \sqrt{k^2 + 1}}$$

В принципе потом при обратном интегрировании ответ получается, не знаю только как константу C считать, а так... я теперь понял как этот тип интеграла называется. Что-то ранее в голову не пришло, сразу в лоб стал делать. Пропустил, видимо, лекции в инстике, вот и результат.

Не пойму теперь какой путь в данном примере короче.

[bot]

Что-то страшненькое у Вас получилось, да и интеграл какой-то неопределённенький
Учитывая особенности подинтегральной функции получаем:

$I'(k)=\int_0^\pi \frac{\cos^2xdx}{1+k^2\cos^2x} = 2\int_0^\frac{\pi}{2} \frac{\cos^2xdx}{1+k^2\cos^2x}$

Теперь можно заменить переменную $\tg x = t$:

$I'(k)=2\int_0^{+\infty} \frac{dt}{(1+k^2+t^2)(1+t^2)}$
$= \frac{2}{k^2} \int_0^{+\infty} ( \frac{1}{1+t^2}-\frac{1}{1+k^2+t^2})dt = ... $
(Проверьте и досчитайте)
А константу при обратном действии легко найдёте подставив удобное значение $k$ в исходный интеграл.

Добавлено спустя несколько минут: Если не прокосячил в арифметике,
то удобное значение $k=0$ оказывается точкой устранимого разрыва первообразной.

[uni]

Да это Derive выдал, другие пакеты более кратки в ответе, если вместо $\frac{\cos^2 x}{1+k^2 \cos^2 x}$ подставлять $\frac {1} {\tg x+ 1+ k^2}$. Тогда терпимо получается, что у Вас похоже и сделано. Спасибо за наводку, результат выглядит примерно так (ещё проверю): {это из другого форума картинка, в MC сделано, так что не судите строго} тут не смог нарисовать тегами, ошибки всё выдавал движок

[bot]

Ну я так и знал. Замена $tgx=t$ возможна в интервале $(0, \frac{\pi}{2})$,
а в середине интервала $(0, \pi)$ засада - тангенс уходит на бесконечность с разными знаками по разные стороны от середины
В лучшем случае может получиться главное значение по Коши, а в худшем получите нуль вместо удвоения - кажется именно последнее, к концу дня уже
лениво заставить себя посмотреть, что получится.

Вернитесь лучше к удвоению интеграла за счёт уполовинивания интервала и проверьте лишь правильность сведения к новой переменной t.
В качестве путеводной звезды (если не прокосячил):
ответ $I(k)=\frac{\sqrt{1+k^2}-1}{|k|}\cdot \pi $.

Выкладки (хотя их и гораздо меньше чем в Вашей цитате) тоже лениво набирать.

[uni]

Окей, советы принимаю, интеграл поисследую. Мне интересно было с точки зрения решения в математическом пакете. Так называемое интерактивное соучастие пакета в процессе решения. На примере Mathcad 11. При помощи сумм бесконечных рядов мне показалось проще, но тут при условии, что сумма будет иметь замкнутую красивую форму, хотя для численного решения это не суть особо важно. Здесь правда Mathcad не помощник, с рядами плохо у него, также как и с символьными вычислениями.
Второй вариант зато можно более менее с умом если автоматизировать. Вот последняя выкладка как это можно сделать в MC11. Константа C = 0.

[bot]

Дались Вам эти пакеты. В простых случаях нужно без них обходиться.
Ага, всё верно у меня было.

bot писал(а):

Ответ $I(k)=\frac{\sqrt{1+k^2}-1}{|k|}\cdot \pi $.

Константа С находится переходом к пределу в точке k=0 как я и говорил, ну а
k, разумеется, можно конечно считать неотрицательным (пакет это умалчивает).
А откуда взялся $J(k)$, который согласно одной строчке совпадает с $I(k)$, а согласно графику внизу ему не равен?
Впрочем, я может не так интерпретирую, я никогда не имел дело ни с какими пакетами.

[uni]

Послушать Вас, так и автомобили не нужны. А зачем? На своих двух можно и вокруг экватора пройти. Согласны ведь? Ах нет... вот и я про тоже. Кто хочет сохранить время для личного пользования, то вместо пешеходных прогулок выбирает поездки на авто. Раз, два и готово, побывал везде, всё сделал и вернулся к семье.
Это и есть по моему мнению назначение пакетов -- сохранять время, выполняя рутину. Я инженер, поэтому мне очень нужны средства, которые за меня многое посчитают. Спорить об этом бессмысленно, если тем более Вы не разу ими не пользовались.
На картинке: J(k) - интеграл, который мы хотим посчитать, на графике приведено его численное значение в зависимости от k. I(k) -- наш найденный ответ. Всё там равно.

Цитата:

Дались Вам эти пакеты. В простых случаях нужно без них обходиться.

Если бы Вы прошли по ссылке, то заметили бы, что я вывел ответ через суммы бесконечных рядов вручную, правда зная ответ заранее, но всё-таки и сделать такое в пакете сложно и не стоит того.

Закрываем топик.

[bot]

Ну, пока не закрыли, хочу сказать, что косячок-то у меня был. Убрать надо модуль из моего ответа:
$I(k)=\frac{\sqrt{1+k^2}-1}{k}\cdot \pi $.
Косячок возник в результате недоперебдения. Считал естественно при положительном k, а потом взглянул не туда,
куда надо было, и вообразил, что функция I(k) чётная, а она очевидно наоборот, чётной-то будет I'(k).
Какой же ещё быть, коль скоро это производная нечётной функции? Ну и дополнительно график
из Вашего пакета сбивал - думал, судя по написанному слева от него, что это график отношения $\frac{I(k)}{J(k)}$,
что уже вообще ни в какие ворота не лезло.
Ну и совсем последнее - по ссылке действительно не ходил, не до того было, если на поезд уже надо было поспешать.
Вот уже лёжа на полке поезда и прокрутил зрительно всю картину, а до инета только сейчас добрался.

По поводу автомобилей я ничего не говорил, но всё же в некоторых случаях полезнее ходить пешком.
Это можно отнести не только к моей ситуации (я сейчас в городе, в котором всего две улицы),
но и к Вашей - зачем мудрить с пакетами, если всё лишь и надо произвести стандартную для этого случая замену,
после чего получается два табличных интеграла? Ну и первообразную потом ещё отыскать и константу определить.