Найти углы, под которыми пересекаются линии

[Dasha1103]

Найти углы, под которыми пересекаются линии
$x^2+y^2=8ax$ и $y^2=\frac{x}{2a-x}$

Если я правильно поняла, то надо найти производные каждой линии, то есть угловые коэффициенты. Найти общие точки пересечения этих линий, подставить в найденные угловые коэффициенты и вычислить тангенс угла по формуле $\tg\alpha=|\frac{k_{1}-k_{2}}{1+k_{1}k_{2}}|$. Правильно?

[Алексей К.]

Dasha1103 в сообщении #500763 писал(а):

то надо найти производные каждой линии,

Производных у линий не бывает. У линий бывают касательные, которые здесь, похоже, уместны. Правильные слова помогают и самопониманию, и взаимопониманию.

Dasha1103 в сообщении #500763 писал(а):

Найти общие точки пересечения этих линий,

Я бы начал с этого, при условии, что картинка уже перед глазами, достаточно аккуратно нарисованная.

[Dasha1103]

Ну точки пересечения у меня получились такие:
$x_{1}=0$
$y_{1}=0$

$x_{2}=5a+\sqrt{9a^2+1}$
$y_{2}=\pm\sqrt{\frac{5a+\sqrt{9a^2+1}}{-3a-\sqrt{9a^2+1}}}$

$x_{3}=5a-\sqrt{9a^2+1}$
$y_{3}=\pm\sqrt{\frac{5a-\sqrt{9a^2+1}}{-3a+\sqrt{9a^2+1}}}$

[Алексей К.]

Похоже, правильно. Я бы ещё попытался уростить эти корни из корней. Избавлением от радикалов в знаменателе. Глядишь, попроще будет. Попытаться надо.
Теперь - угловые коэффициенты касательных. Как будем их искать?
А схема в Вашем первом сообщении правильная.

[Dasha1103]

Тогда корни упрощённые такие:
$x_{2}=5a+\sqrt{9a^2+1}$
$y_{2}=\pm\sqrt{6a^2-2a\sqrt{9a^2+1}-1}$

$x_{3}=5a-\sqrt{9a^2+1}$
$y_{3}=\pm\sqrt{6a^2+2a\sqrt{9a^2+1}-1}$

Производные у меня получились такие:
1)$x^2+y^2=8ax$
тогда производная $y'=\frac{4a-x}{y}$
2)$y^2=\frac{x}{2a-x}$
тогда производная $y'=\frac{a}{y(2a-x)^2}$

[Алексей К.]

Ну вроде всё правильно. Настолько, что дальше будет даже лень проверять.

-- 08 ноя 2011, 00:47 --

Блин, я думал, три точки пересечения, а их вроде аж пять штук.
Ой, завтра я на больничном...

[Dasha1103]

Там получается такое большое выражение для тангенса, что я не понимаю что делать...

[Алексей К.]

А, там симметрия относительно оси абсцисс, должны быть до лампочки эти плюс-минусы.
И температура сразу спала...

-- 08 ноя 2011, 00:53 --

Мне сразу хотелось Вас призвать проверить условие. Первое уравнение соблюдает размерности, а второе --- нет (что необязательно, но проверить бы хотелось).

-- 08 ноя 2011, 00:54 --

Не пропал ли там какой-нибудь а-квадрат в числителе?

[Dasha1103]

Нет, условие правильное.

[spaits]

Dasha1103 в сообщении #500821 писал(а):

Тогда корни упрощённые такие:
$x_{2}=5a+\sqrt{9a^2+1}$
$y_{2}=\pm\sqrt{6a^2-2a\sqrt{9a^2+1}-1}$

$x_{3}=5a-\sqrt{9a^2+1}$
$y_{3}=\pm\sqrt{6a^2+2a\sqrt{9a^2+1}-1}$

Производные у меня получились такие:
1)$x^2+y^2=8ax$
тогда производная $y'=\frac{4a-x}{y}$
2)$y^2=\frac{x}{2a-x}$
тогда производная $y'=\frac{a}{y(2a-x)^2}$

В формуле производной $y$ в знаменателе, не лучше было бы освободиться ранее от иррациональности в числителе, а не знаменателе?
А то теперь повторно - вкруговую так и идти?

[Dasha1103]

думаете так будет легче?

[spaits]

Dasha1103 в сообщении #500895 писал(а):

думаете так будет легче?

Что-то не решаюсь я браться за эти преобразования, по крайней мере сегодня. Вам срочно?
Подумайте: ведь при делении на $y$ все это иррациональное выражение окажется в знаменателе.

[Алексей К.]

Да, выражения сложные. Замечу, можно выразить икс через игрек(-квадрат) из второго уравнения, будет что-то вроде

$$\tg\Delta=\frac12\,{\frac { \left( 8\,{y}^{2}{a}^{2}+16\,{a}^{2}-{y}^{6}-3\,{y}^{4}- 3\,{y}^{2}-1 \right) y}{a \left( {y}^{4}+5\,{y}^{2}+2 \right) \left( {y}^{2}+1 \right) }}$$

Но всё равно выглядит тяжко. На учебную задачу не похоже.

[Dasha1103]

спасибо вам, что уделили мне время)
эххх....

[spaits]

Я нарисовала графики данных функций, один график - окружность. Я завтра посмотрю эту задачу.

-- Пн ноя 07, 2011 23:42:34 --

Ну вот, для точки $(0;0)$ я нашла угол пересечения кривых.
Для первой кривой производная $y'(0)=4a$, для второй кривой равна бесконечности, то-есть, направлена по оси $y$, поэтому в этой точке угол между кривыми вычисляется без той (приведенной Вами) формулы: $\alpha=\dfrac{\pi}{2}-\arctg4a$.
Возможно, я ошиблась, но из графика выходит, что только две точки пересечения у этих кривых.