Задача Коши для волнового уравнения (формула Кирхгофа)

[Super_BOT]

Всем привет, подскажите пожалуйста как решить задачу Коши для волнового уравнения в трехмерном случае с помощью формулы Кирхгофа:

$u_{tt} = 4\Delta u + z^2 t^2$ , $ u|_{t=0} = x^3 $ , $ u_t |_{t=0} = y^2 $

Проблема в вычислениях.

Решаю через ряды получается один ответ( скорее всего правильный: $u=x^3+y^2 t + 12xt^2 + \frac{4}{3}t^3 + \frac{z^2 t^4}{12} + \frac{t^6}{45}$ )
Но решая через формулу Кирхгофа получаются совершенно другие коэффициенты при степенях t.

Помогите пожалуйста, два дня убил на этот пример

[svv]

Я правильно понимаю, что Вы хотели вместо $u_{tt} = 4\delta u + z^2 t^2$ написать $u_{tt} = 4\Delta u + z^2 t^2$? Тогда \Delta, а не \delta.

[Super_BOT]

svv в сообщении #500788 писал(а):

Я правильно понимаю, что Вы хотели вместо $u_{tt} = 4\delta u + z^2 t^2$ написать $u_{tt} = 4\Delta u + z^2 t^2$? Тогда \Delta, а не \delta.

Да, спасибо, исправил, дельта - это лапласиан.

[svv]

А Вы можете еще саму формулу привести, для неоднородного случая? Там интегралы какие-то...

Рассмотрите три более простые задачи:
1)
$u_{tt} = 4\Delta u + z^2 t^2$, $ u|_{t=0} = 0 $, $ u_t |_{t=0} = 0 $
Решение: $u=\frac{z^2 t^4}{12} + \frac{t^6}{45}$

2)
$u_{tt} = 4\Delta u$, $ u|_{t=0} = x^3 $, $ u_t |_{t=0} = 0 $
Решение: $u=x^3+ 12xt^2$

3)
$u_{tt} = 4\Delta u $, $ u|_{t=0} = 0 $, $ u_t |_{t=0} = y^2 $
Решение: $u=y^2 t + \frac{4}{3}t^3 $

Ваша задача, говоря неформально, является суперпозицией, суммой этих трех задач. Соответственно, Ваше решение (через ряды) -- сумма этих решений. Проверьте, что дает формула Кирхгофа по отдельности для каждой задачи.

Это проще сделать, используя уже сделанные вычисления по формуле Кирхгофа. Подчеркните везде красным фломастером все слагаемые, относящиеся к первой задаче, зеленым -- ко второй, синим -- к третьей, чтобы разбить слагаемые ответа на три группы, и каждую группу сопоставьте с приведенными правильными ответами.