Очень сложная геометрическая задача

[Liouville]

Dimoniada в сообщении #496525 писал(а):

Нет, я имею ввиду такое преобразование Лаггера, функцию $z'= \frac {az+b} {cz+d}$ дуального переменного (тут $z = \tg(\frac \alpha 2)(1+\varepsilon s)$ - ориентированная прямая). Оно для четвёрки прямых $[z_1z_2z_3z_4]$ кое-чего сохраняет. Более того, из замечания svv следует, что в результате подобранного такого преобразования $ABCD$ можно перевести вообще в ромб, а не параллелограмм. Получится типа см. рис. Далее надо аккуратно объяснять, почему пунктирные касательные пересекутся именно на бесконечно удалённой вырожденной в прямую окружности $\omega$.

Dimoniada! Преобразования Лагерра не сохраняют инцидентность кривых, поскольку не являются точечными преобразованиями. Поэтому, из пересечения образов прямых на образе окружности не следует пересечение их самих. Или я Вас неправильно понял? Буду Вам крайне признателен, если Вы будете рассуждать геометрически, а не аналитически.

А вот еще: если ориентировать окружность $\omega$, то ориентации двух вписанных окружностей задаются однозначно. Однако пунктирные касательные ориентировать уже не получится, чтобы они касались тех же ориентированных окружностей.

-- 05.11.2011, 16:00 --

nnosipov в сообщении #496573 писал(а):

Точки вычисляем в следующей последовательности: $D$, $O_1$, $O_3$, $R$, $C$, $O_2$, $P$, $Q$ (точка $Q$ рационально выражается через точки $O_1$, $O_2$ и $P$). Затем проверяем, что $|Q-O_3|^2=|R-O_3|^2$.

P.S. Выражения получаются громоздкими, например

$$ C=-{\frac {z_{{1}} \left( {z_{{1}}}^{2}{z_{{2}}}^{4}{z_{{3}}}^{2}+2\,{z_ {{3}}}^{2}-{z_{{2}}}^{4}{z_{{3}}}^{2}+{z_{{2}}}^{2}+{z_{{1}}}^{2}{z_{{ 2}}}^{2} \right) \left( z_{{2}}z_{{3}}+i \right) \left( -z_{{2}}z_{{ 3}}+i \right) }{{z_{{2}}}^{2}{z_{{3}}}^{4}+{z_{{1}}}^{2}{z_{{2}}}^{2}{ z_{{3}}}^{4}+2\,{z_{{3}}}^{2}+{z_{{2}}}^{2}+{z_{{1}}}^{2}{z_{{2}}}^{2} +2\,{z_{{1}}}^{2}{z_{{2}}}^{4}{z_{{3}}}^{2}}}. $$

nnosipov, а Вы это вручную считали, аль на компьютере? Это ж после того, как посчитали C, надо еще считать $ O_2, P, Q$! Я конечно понимаю, что ради победы на Межнаре можно и так делать, но в спокойной повседневной жизни то...

[nnosipov]

Liouville в сообщении #499715 писал(а):

nnosipov, а Вы это вручную считали, аль на компьютере? Это ж после того, как посчитали C, надо еще считать $ O_2, P, Q$!

А я и не обещал решить эту задачу по-человечески. Разумеется, все вычисления проделаны на компьютере. Просто это довольно дешёвый способ проверять геометрические гипотезы. И иногда он бывает единственно возможным (есть тому примеры). Понятно, что нужно искать нормальное геометрическое решение, но это уже для настоящих любителей геометрии.

[timots]

Кажется, я зациклился на чертеже и не прочитал условие. В условие ведь сказано что касательные пересекают окружность $w$, а не сходятся на ней. Тогда все просто. Центры малых окружностей лежат на биссектрисы угла образованного пересечением касательных к этим окружностям. Для пересечения касательных мы можем взять любую точку биссектрисы. Так как угол между касательными будет меньше угла $A$ то в любом случаи, когда точка взята вне окружности, внутри окружности или на окружности касательные будут пересекать окружность.

[Liouville]

timots!!! Только не говорите, что Вы это серьезно
Скажите, что нужно доказать? Вы кстати кем будете, если не секрет: школьником, студентом, академиком?

(Оффтоп)

Я Вас раскусил: Вы - профессиональный тролль! (с)

[timots]

Liouville в сообщении #499966 писал(а):

Вы кстати кем будете, если не секрет: школьником, студентом, академиком?

Если бы я был школьником или студентом я бы давно уже решил эту задачу.
Но прошло около 40 лет как я, готовясь для поступления в институт, решал подобные задачи. Но вот лезет задача в голову и не, то что бы я ее специально решал…
Извиняюсь, если испортил Вам всю интригу.

[Liouville]

timots, простите мне мою несообразительность! Не сразу оценил Ваше решение. Оно гениально!
Оно настолько раскрывает природу этой геометрической конфигурации, что имеет множество следствий, довольно трудных и совсем не очевидных.

(Оффтоп)

Например, из Вашего доказательства следует, что пунктирные прямые пересекают не только окружность $\omega$, но и диагональ $AC$, если ее продолжить достаточно далеко. Более того, если трапеция, продолженная из прямоугольного треугольника, вписанная, то касательные к описанной около нее окружности образуют прямой угол, сходящийся на $\omega$. Это далеко не все! Если, конечно, интересно - напишу.

В какой же институт Вы поступали, если спустя 40 лет решаете такие сложные задачи? На Всемирной олимпиаде ее решило всего около 1% умнейших математиков Земли.

[Null]

Я ошибся или точки A, (точка касания BD и меньшей из вписанных окружностей), и та точка пересечения касательных лежат на одной прямой?

Аналогично точки C,(точка касания BD и большей из вписанных окружностей), и та точка пересечения касательных лежат на одной прямой.

[nnosipov]

Null, нет, Вы не ошиблись.

[Null]

Ну тогда они обе будут проходить через точку на внешней окружности где касательная параллельна BD.

[nnosipov]

И это тоже правда.

[Liouville]

Браво, Null!