Сколько квадратов в последовательности?

[vivaldi]

В последовательности натуральных чисел первое число равно 1, а каждое следующее образуется путем сложения суммы квадратов всех предыдущих членов последовательности с их количеством.

Сколько точных квадратов в этой последовательности?

[MrDindows]

$a_2=a_1^2+1$

$a_3=a_2^2+a_1^2+2=a_2^2+a_2+1$

$a_{n+1}=a_n^2+a_n+1$

$a_{n}^2<a_{n+1}<(a_n+1)^2$

А значит первый элемент - единственный точный квадрат в этой последовательности.

[vivaldi]

MrDindows в сообщении #499965 писал(а):

$a_2=a_1^2+1$

$a_3=a_2^2+a_1^2+2=a_2^2+a_2+1$

$a_{n+1}=a_n^2+a_n+1$

$a_{n}^2<a_{n+1}<(a_n+1)^2$

А значит первый элемент - единственный точный квадрат в этой последовательности.

А не легче обратить внимание на то, что все они на семерку оканчиваются?

[MrDindows]

vivaldi в сообщении #500098 писал(а):

MrDindows в сообщении #499965 писал(а):

$a_2=a_1^2+1$

$a_3=a_2^2+a_1^2+2=a_2^2+a_2+1$

$a_{n+1}=a_n^2+a_n+1$

$a_{n}^2<a_{n+1}<(a_n+1)^2$

А значит первый элемент - единственный точный квадрат в этой последовательности.

А не легче обратить внимание на то, что все они на семерку оканчиваются?

По-моему, не легче. В моём доказательстве по сути 2 строчки, и к тому же, неважно чему равен первый член. А у вас, во первых, чтоб обратить на это свойство внимание, надо найти несколько первых членов последовательности (а даже 57 возводить в квадрат уже затруднительно=), во вторых надо ещё это свойство доказать.

[vivaldi]

MrDindows в сообщении #500210 писал(а):

А у вас, во первых, чтоб обратить на это свойство внимание, надо найти несколько первых членов последовательности (а даже 57 возводить в квадрат уже затруднительно=), во вторых надо ещё это свойство доказать.

Искать члены не нужно, достаточно проследить за последней цифрой.

$1^2+1=2 mod 10, 1^2+2^2+2=7 mod 10, 1^2+2^2+7^2+3=7 mod 10, 1^2+2^2+7^2+7^2+4=7 mod 10, \dots$