Уравнение

[Keter]

Решить уравнение $f(\sqrt{x+4})=f(2x), f(t)=2t-t^2, t \in \mathbb{R}$

$2\sqrt{x+4}-(\sqrt{x+4})^2=4x-4x^2$

$2\sqrt{x+4}=-4x^2+5x+4$

$D(f): 4x^2-5x-4 \le 0$

$ D=25+64=89$

$ x_{1,2}=\frac{5 \pm \sqrt{89}}{8}$

$D(f)=[-0,56; 1,81]$

$4x+16=16x^4+25x^2+16-40x^3-32x^2+40x$

$16x^4-40x^3-7x^2+36x=0$

$x(16x^3-40x^2-7x+36)=0$

$x=0 $

$16x^3-40x^2-7x+36=0$

Не могу решить кубическое уравнение( Ответ должен быть $x=0, x= \frac{1 + \sqrt{65}}{8}$

[Legioner93]

Формула Кардано

[Keter]

не годится. Слишком долго. Это задание, чтобы все желающие помочь не вдавались далеко, для 10-11 класса

[zhoraster]

У данного многочлена имеется рациональный корень, и это, конечно, помогает. Вы умеете искать рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами?

[Whitaker]

Keter cделайте замену $x=\dfrac{m}{n}$, где $m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}, (m,n)=1$ и .....
Для начала сделайте это.

[Keter]

zhoraster в сообщении #500343 писал(а):

У данного многочлена имеется рациональный корень, и это, конечно, помогает. Вы умеете искать рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами?

Нет

Whitaker в сообщении #500354 писал(а):

Keter cделайте замену $x=\dfrac{m}{n}$, где $m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}, (m,n)=1$ и .....
Для начала сделайте это.

$16\frac{m^3}{n^3}-40\frac{m^2}{n^2}-7\frac{m}{n}+36=0$

[zhoraster]

Whitaker в сообщении #500354 писал(а):

Keter cделайте замену $x=\dfrac{m}{n}$, где $m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}, (m,n)=1$ и .....
Для начала сделайте это.

Вы забыли написать: в предположении, что $x$ рационально.

-- Вс ноя 06, 2011 22:08:03 --

Не будем заниматься угадыванием мелодии. $m$ является делителем свободного члена, а $n$ -- старшего коэффициента. Keter, сделайте небольшой перебор и найдите рациональный корень.

[Keter]

Какой перебор? Может там свернуть чего, вынести? В итоге мы должны получить три корня и выбрать один, лежащий в промежутке D(f). Это будет $\frac{1+\sqrt{65}}{8}$, судя по ответу.

-- 06.11.2011, 22:14 --

(Оффтоп)

"хумата, хухта, хваршта" - добрые помыслы, добрые речи, добрые дела

[zhoraster]

Еще раз: числитель -- делитель свободного члена. Какие Вы знаете делители числа $36$? Знаменатель -- делитель старшего коэффициента. Какие там варианты?

[Keter]

Ну какие варианты: $m = 6; 3; 9; 4; 2; 1; 0$ и $m = 4; 8; 0; 1; 2$(старший коэффициент 16)

[zhoraster]

Нули - это, конечно, шутка, да и это не все делители. Там побольше, да и отрицательные тоже будут. Ну теперь по очереди подставляем $m/n$, пока не подойдет. Да, это придется сделать.

[Keter]

Нули - шутка конечно. Просто меня интересует: как таким перебором можно получить $x = \frac{1+\sqrt{65}}{8}$ ?

-- 06.11.2011, 22:48 --

Очень близко $9/8=1,125$ А нужно $1,133$

[Trius]

Keter в сообщении #500384 писал(а):

Нули - шутка конечно. Просто меня интересует: как таким перебором можно получить $x = \frac{1+\sqrt{65}}{8}$ ?

-- 06.11.2011, 22:48 --

Очень близко $9/8=1,125$ А нужно $1,133$

Один рациональный корень $x_0$ подбирается, потом делите многочлен на $x-x_0$, и решаете полученное квадратное уравнение.

[ИСН]

Не надо близко. Найдите точно. Переберите их. Перебереберите.
"Погладь делители. Погладь делители, слушай."

[Keter]

9/4=2,25 вроде подходит