Нахождение средней мощности источника через вектор Пойнтинга

[Asmodey]

Данная задача решалась в теме "электромагнитые волны.народ!!!!кто соображает, помогите разо". К счастью, мне посчастливилось получить эту задачу для решения, но в данной теме я не понял, как найти сам вектор Пойнтинга. Прошу помочь. Как я понимаю, S=E*H, но какие E и H подставлять, если в условии даны уравнения э/м волны в СИ? Мощность источника э/м волны равна интегралу от вектора Пойнтинга по площади поверхности сферы произвольного радиуса r, как понял я.

[olenellus]

Для начала, напишите, пожалуйста, полностью условия.

[Asmodey]

Излучаемая точечным источником сферическая электромагнитная волна, уравнение которой в системе СИ имеет вид:


распространяется в вакууме. Определить среднюю мощность источника электромагнитной волны. При решении задачи следует учесть, что среднее значение квадрата синуса за период равно 0,5.

-- 06.11.2011, 19:40 --

Наверное, ошибочный вариант, но если просто перемножить данные в условии уравнения, а потом проинтегрировать полученное по замкнутой поверхности, ограниченной сферой радиуса r, мы не получим мощность источника? Затем взять квадрат синуса как 0.5 - это будет средняя мощность. Я не прав?

[olenellus]

Верно. Как будете интегрировать?

[Asmodey]

$S=E*H=\frac{51,8*10^4}{r^2}\sin^2((6*10^6)*\pi*t-0,02*\pi*r)$

Правильно вектор Пойнтинга нашёл?

[olenellus]

да

[Asmodey]

Отлично! А вот с интегралом по замкнутой поверхности сферы не понимаю. Вроде, получается так, а как решить - не знаю.
$int{\frac{51,8*10^4}{r^2}\sin^2((6*10^6)*\pi*t-0,02*\pi*r)}*d*4*pi*r^2$
Здесь интеграл по замкнутой поверхности по s. s - площадь поверхности сферы. Под знаком дифференциала d я принял $s=4*pi*r^2$
Как раскрыть этот интеграл?

[profrotter]

Громоздкости, которую вы рискуете получить при своём подходе можно избежать, если обратить особое внимание на то, что вас просят найти среднюю мощность излучения и, соответственно, вам требуется среднее значение вектора Пойтинга, которое в свою очередь определяется через комплексные амплитуды векторов напряжённости электрического и магнитного поля. (Усреднение тут понимается по времени за период)

[olenellus]

Не пугайте человека! Не надо никаких комплексных амплитуд.

Надо сначала усреднить по времени вектор Пойнтинга для фиксированного радиуса (радиуса сферы, по которой пойдёт интегрирование). Тогда станет совсем просто. Потом надо правильно записать интеграл. То, что у Вас написано, неправильно. А можно, на самом деле, обойтись вообще без интегралов. Найдите среднее значение вектора Пойнтинга и увидите, как.

[profrotter]

olenellus в сообщении #500313 писал(а):

Надо сначала усреднить по времени вектор Пойнтинга для фиксированного радиуса (радиуса сферы, по которой пойдёт интегрирование)

Можно и так. От радиуса сферы среднее за период значение вектора Пойтинга не зависит. Ладно решайте. Не буду вам мешать.

[Asmodey]

среднее значение вектора Пойнтинга $S=\frac{51,8*10^4}{2*r^2}$
а среднее значение мощности найдём через интеграл по замкнутой поверхности по площади поверхности сферы:
$int\frac{51,8*10^4}{2*r^2}ds$
Правильно?

[olenellus]

Верно.

Заметьте, что Вы хотите взять интеграл по поверхности сферы фиксированного радиуса. Подынтегральное выражение зависит только от радиуса. О чём это говорит?

[profrotter]

profrotter в сообщении #500321 писал(а):

От радиуса сферы среднее за период значение вектора Пойтинга не зависит.

Прошу прощения, - тут я грубо ошибся. Я имел ввиду, что исчезнет страшный синус в квадрате с зависимостью от радиуса. (Чтобы не было никаких сомнений).

[Asmodey]

А интеграл по замкнутой поверхности в нашем случае будет решаться как обычный неопределенный? То есть, в конечном итоге получится средняя мощность 103,6пи*10^4?

-- 06.11.2011, 23:12 --

Кстати, от радиуса сферы действительно ничего не зависит. Он сокращается при подстановке $s=4*pi*r^2$

[olenellus]

Ответ правильный, но интеграл, всё-таки, не неопределённый, а поверхностный, который превращается в двойной, который, в свою очередь, вычисляется через определённые интегралы. Но так как вектор Пойнтинга, вернее, его произведение на нормаль, является константой на поверхности сферы фиксированного радиуса, то весь интеграл (для вычисления потока) сводится к умножению величины этого вектора на площадь сферы. Там всё и сокращается. Чтобы числа не писать, обозначим $S=\frac{a}{r^2}$. Тогда:

$\begin{aligned}\oint\limits_\Sigma S\,\mathrm{d}\sigma=\int\limits_0^\pi\int\limits_0^{2\pi}\frac{a}{r^2}r^2\sin\theta\,\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\theta=a\int\limits_0^\pi\int\limits_0^{2\pi}\sin\theta\,\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\theta=a\cdot 4\pi\end{aligned}$
$a$ у Вас равно $25,\!9\cdot 10^4$

Asmodey в сообщении #500363 писал(а):

Кстати, от радиуса сферы действительно ничего не зависит. Он сокращается при подстановке $s=4\pi r^2$

И это, между прочим, очень важны факт. Он означает, что какую бы сферу вокруг источника мы не взяли, за единицу времени через неё будет прокачиваться одно и то же количество энергии, это, в свою очередь, означает, что энергия по пути от источника не теряется и не появляется — закон сохранения энергии. (На самом деле, конечно, такое положение вещей обеспечивается выбором зависимости интенсивностей $E$ и $H$ от радиуса, то есть, скорее наоборот: из-за того, что работает закон сохранения энергии, амплитуды колебаний электрического и магнитного полей спадают именно обратно пропорционально расстоянию от источника, а мощность излучения, проходящая через единицу площади (глаз, например, тогда это будет что-то типа видимой яркости источника) спадает обратно пропорционально квадрату расстояния.)