Школьная тригонометрия sin(x)+sin(2x)=2

[INGELRII]

Я про формулу Эйлера и не забывал никогда

Может, я не совсем правильно понимаю выражние "выйти в комплексную плоскость"? Для меня это значит искать комплексные корни исходного уравнения. Полагаем $x=a+b i$ и там разлагаем синуса по формуле синуса суммы... ну и т.д. В каком месте Эйлер выскакивает, не вижу

[gris]

Извиняюсь — я, конечно, ошибся
Это синус сбоку, а косинус снизу. Если на круге смотреть. Синус ордината, косинус абсцисса.
Какая-то мнемоника было в церковно-приходской. Типа головой мотать сверху вниз это для синуса, то есть "да" или справа налево для косинуса, то есть "нет". А что да и нет — не помню
Надеюсь, это поможет в разгадке задачи.

[INGELRII]

А! Сорри! Теперь все понял. Да, червертая степень. И уравнение ровно одно. Правда, с комплексными коэффициентами. Но это не помешает найти корни, формулы-то те же.

(Оффтоп)

По-прежнему сомневаюсь, не оффтоп ли вся эта ветка комплексных обсуждений ))

[nnosipov]

$e^{\pm ix}=\cos{x} \pm i\sin{x}$, откуда $\sin{x}=(e^{ix}-e^{-ix})/(2i)=(z-1/z)/(2i)$, где $z=e^{ix}$. Это верно для любых $x$, а не только для вещественных.

[Legioner93]

$y^4+y^3-4iy^2-y-1=0$, где $y=e^{ix}$

[olenellus]

Удачи в решении!
(Вольфрам говорит, что все корни разные, что породит четыре разных серии решений для исходной переменной.)

[Klad33]

Нашел приближенные корни (их 4):

$x_{1,2}=0.929698642773839 \, \pm \, 0.317066870803869 \, i $

$x_{3,4}=-2.50049496956874 \, \pm \, 0.875086895152202 \, i $

Точнее нет смысла рассчитывать.

[Legioner93]

Klad33 в сообщении #499163 писал(а):

Точнее нет смысла рассчитывать.

Ещё 3 цифры и тогда я успокоюсь
Если серьёзно - а вдруг там решения в радикалах красивые? Всего-то нужно владеть методом Феррари или методом Декарта-Эйлера. Уважаемый AKM упоминал, что умеет решать произвольные уравнения 4-ой степени вторым способом и с успехом применяет эти навыки в длительных перелётах! Наверняка и Феррари кто-нибудь владеет. Может, кто-нибудь возьмется за решение в общем виде?
P.S. Пока писал, вспомнил, что существует обратный калькулятор, который позволяет проверить "на красоту" ответы по их приближенным численным значениям. Но ведь это неспортивно... У самого руки чешутся, но благо сайт в очередной раз лежит

[AKM]

Legioner93 в сообщении #499177 писал(а):

Если серьёзно - а вдруг там решения в радикалах красивые?

Да с чего бы им быть красивыми в надуманной задачке? Красивые они бывают, когда задача из жизни.

Здесь что-то вродеHack attempt!

-- 04 ноя 2011, 11:29 --

Остальные корни --- там знаки перед какими-то радикалами по-умному поменять. А я пока схожу в администрацию, проконсультируюсь: не является ли Ваше, Legioner93, сообщение провокационным? Ибо чувствую, что Вы меня спровоцировали (даже не оплатив билет на самолёт), но юридической подготовки не хватает...

[Legioner93]

AKM в сообщении #499206 писал(а):

Legioner93 в сообщении #499177 писал(а):

Если серьёзно - а вдруг там решения в радикалах красивые?

Да с чего бы им быть красивыми в надуманной задачке? Красивые они бывают, когда задача из жизни.

Эээ... Что? С каких это пор прикладные (жизненные) задачи стали иметь красивые решения?! Это только в учебниках по алгебре дискриминант всегда квадрат.

AKM в сообщении #499206 писал(а):

А я пока схожу в администрацию, проконсультируюсь: не является ли Ваше, Legioner93, сообщение провокационным? Ибо чувствую, что Вы меня спровоцировали (даже не оплатив билет на самолёт), но юридической подготовки не хватает...

Для хорошего человека ничего не жалко! Пожалуйста! Мне, например, удовольствия получения этих $\arccos{\frac{98}{125}}$ не познать