Неравенство

[student]

Докажите, что при любых $x_1,x_2,x_3$ имеет место неравенство

$(\frac{x_1}{2}+\frac{x_2}{3}+\frac{x_3}{6})^2\leq \frac{x_{1}^{2}}{2}+\frac{x_{2}^{2}}{3}+\frac{x_{3}^{2}}{6}$

[RIP]

Это же просто нер-во Коши-Буняковского-Шварца.

[student]

как?
Если выберем $X=(x_1,x_2,x_3), Y=(1/2,1/3,1/6)$
получится
$(\frac{x_1}{2}+\frac{x_2}{3}+\frac{x_3}{6})^2\leq (x_{1}^{2}+ x_{2}^{2}+x_{3}^{2})(1/4+1/9+1/36)$
Правильно или я что то не учел?

[RIP]

Надо взять другие $x$ и $y$.
Кстати, это еще и из нер-ва Иенсена следует.

[Azog]

А нер-во КБШ это же квадрат суммы меньше суммы квадратов. И о чем тут говорить?

[RIP]

Нер-во КБШ - это
$(x,y)^2\leqslant\|x\|^2\|y\|^2$.
В частности,
$(\frac1{\sqrt2}\frac {x_1}{\sqrt2}+\frac1{\sqrt3}\frac {x_2}{\sqrt3}+\frac1{\sqrt6}\frac {x_3}{\sqrt6})^2\leqslant(\frac12+\frac13+\frac16)(\frac{x_1^2}2+\frac{x_2^2}3+\frac{x_3^2}6)$