Предел последовательности

[Straw_hat]

Доброго времени суток!
Приведу здесь нахождение предела, в правильности которого сомневаюсь... Хотя интуитивно решение
вроде как верное, но не очень понятно почему мы можем так поступать с формальной точки зрения.
Буду рад коментариям)
Нужно найти такой вот предел:
$\lim_{n\rightarrow+\infty}\left(\cfrac{3n^2+n+1}{5n^2+3n+2}\right)^{n^2+1}=A$
Далее т.к. на бесконечности $$\cfrac{3n^2+n+1}{5n^2+3n+2}\thicksim \cfrac{3n^2}{5n^2}=\frac{3}{5}, то в итоге получаем: $A=\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\frac{3}{5}\right)^{n^2+1}=0$
Все ли здесь верно?

[xmaister]

Straw_hat в сообщении #499596 писал(а):

$$\cfrac{3n^2+n+1}{5n^2+3n+2}\thicksim \cfrac{3n^2}{5n^2}=\frac{3}{5}$$

Я думаю, что всё таки лучше написать $\frac{3}{5}+O\left(\frac1{n}\right)$

[Someone]

Верно. А написать лучше так, как Вас учили на занятиях.

P.S. Предел лучше записывать так: $\lim\limits_{n\to\infty}\ldots$. Получится $\lim\limits_{n\to\infty}\ldots$.

[ewert]

Straw_hat в сообщении #499596 писал(а):

Все ли здесь верно?

Верно, но формально некорректно (так легкомысленно заменять на эквивалентное при бесконечно большом показателе нельзя). Подобного рода трюки действительно можно использовать, но лишь как эвристические соображения для угадывания ответа. А потом надо оформить это аккуратно. Проще всего: зная, к чему стремится основание, оценить его (начиная с некоторого номера) сверху некоторым числом, меньшим единицы.