Доказать рациональность

[xmaister]

Доказать, что

$$\int\limits_{-100}^{-10}\left(\dfrac{x^2-x}{x^3-3x+1}\right)^2dx+\int\limits_{\frac1{101}}^{\frac1{11}}\left(\dfrac{x^2-x}{x^3-3x+1}\right)^2dx+\int\limits_{\frac{101}{100}}^{\frac{11}{10}}\left(\dfrac{x^2-x}{x^3-3x+1}\right)^2dx$$

рациональное число.

(Источник)

Putnam

[venco]

Довольно прямолинейно решается. Сводим три интеграла к одному, а он уже легко берётся.

[nnosipov]

Ответ: $11131110/107634259$.

[nnosipov]

venco в сообщении #499381 писал(а):

Довольно прямолинейно решается. Сводим три интеграла к одному, а он уже легко берётся.

А если взять такие отрезки интегрирования: $[-1;-1/2]$, $[35/44;8/7]$ и $[2;5]$ ?

[nnosipov]

Вот решение задачи для отрезков $[-1;-1/2]$, $[1/2;2/3]$ и $[2;3]$ (такой набор поэстетичней выглядит). Выделяя алгебраическую составляющую (метод Остроградского), получим

$$ \int \frac{(x^2-x)^2}{(x^3-3x+1)^2}\,dx= \frac{-\frac{5}{9}\,x^2+\frac{8}{9}\,x-\frac{2}{9}}{x^3-3x+1}+ \int \frac{\frac{4}{9}\,x-\frac{2}{9}}{x^3-3x+1}\,dx. $$

Имеем

$$ \frac{\frac{4}{9}\,x-\frac{2}{9}}{x^3-3x+1}= \frac{c_1}{x-\alpha_1}+\frac{c_2}{x-\alpha_2}+\frac{c_3}{x-\alpha_3}, $$

где $\alpha_i$ --- корни $x^3-3x+1$, а $c_1+c_2+c_3=0$. Теперь достаточно заметить, что

$$ \frac{(-1/2-\alpha_i)(2/3-\alpha_i)(3-\alpha_i)} {(-1-\alpha_i)(1/2-\alpha_i)(2-\alpha_i)}=\frac{19}{9}. $$

Ответ: $20/57$.

PS. Сначала показалось, что всё дело в маленькой группе Галуа уравнения $x^3-3x+1=0$, но нет, здесь этих фокусов не предполагалось.