Имеет ли сопряжённое комплексному числу первообразную ТФКП

[Alexeybk5]

Здравствуйте
Появился вопрос по комплексному анализу

есть ли первообразная у сопряжённого комплексного числа
или другими словами, является ли примитивной функция
$f(z)=\overline z$ на комплексном множестве

легко доказать, что $\overline z$ не имеет производной и соответственно $f(z)=\overline z$[/math] не является аналитической функцией (достаточно взять производные и увидеть что критерий Коши не выполнятеся)

Но вот каким образом можно узнать на счёт первообразной?
Спасибо

[xmaister]

Alexeybk5 в сообщении #499161 писал(а):

есть ли первообразная у сопряжённого комплексного числа

Нет, т.к. интеграл от Вашей функции по замкнутому контуру не будет равен 0.

[Alexeybk5]

xmaister в сообщении #499167 писал(а):

Alexeybk5 в сообщении #499161 писал(а):

есть ли первообразная у сопряжённого комплексного числа

Нет, т.к. интеграл от Вашей функции по замкнутому контуру не будет равен 0.

Да, кажется так оно и есть ! а интеграл по замкнутому контуру у этой функции не равен нулю, т.к. эта функция не аналитическая, и поэтому не удовлетворяет условию Теоремы Коши о равенстве интеграла по замкнутому контуру нулю. Верно?

[Padawan]

Производная аналитической функции сама является аналитической функцией.

[Munin]

Padawan в сообщении #499187 писал(а):

Производная аналитической функции сама является аналитической функцией.

Но о существовании первообразной у неаналитической функции это ещё не говорит :-)

[ewert]

Munin в сообщении #499247 писал(а):

Но о существовании первообразной у неаналитической функции это ещё не говорит

Говорит: достаточно очевидно, что если интеграл с переменным верхним пределом имеет смысл, то он аналитичен.

Хотя стандартная аргументация сводится, конечно, к тому, что существование первообразной (или, что то же самое, равенство нулю интеграла по любому контуру) равносильно аналитичности функции. Аналитичность же производной -- факт более сложный (во всяком, более далёкий).

[Alexeybk5]

Кстати , а по какой теореме интеграл должен быть равен нулю?

В фундаментальной теореме "контур интеграла"
необходимое условие, чтобы первообразная функции была аналитична

следовательно этой теоремой мы не можем оперировать, т.к. мы не знаем ещё существует или нет первообразная


в теореме о "независимости пути"
необходимое условие теоремы является, чтобы эта функция $f(z)=\underline z$
была непрерывной ( что не выполняется так как underline z$ не является аналитичной)

тогда какой теоремой мы должны воспользоваться, чтобы аргументировать отсутствие первообразной не равенство нулю интеграла это функции ?

-- 04.11.2011, 16:08 --

Хотя, в предыдущем пункте задания нужно было найти интеграл этой функции по замкнутой еденичной окружности

и он был равен

$i*Pi$
следовательно действительно ,интеграл не равен нулю, а отсюда следует что эта функция не аналитическая

Но опять же, почему он должен быть равен нулю, коль эта функция не аналитична?


и вообще, почему нам так необходима в тех теоремах аналитичность функции(т.е. существовании дифференциала)
?

[ewert]

Alexeybk5 в сообщении #499297 писал(а):

была непрерывной ( что не выполняется так как underline z$ не является аналитичной)

Для непрерывности аналитичность вовсе не обязательна.

Alexeybk5 в сообщении #499297 писал(а):

следовательно этой теоремой мы не можем оперировать, т.к. мы не знаем ещё существует или нет первообразная

Во-первых, обратное утверждение всё-таки тоже имеет место быть. Доказывается в лоб (без ссылок на аналитичность производной) оно более-менее одновременно с прямым. Если для прямого утверждения (что из аналитичности следует равенство нулю интеграла по контурам) наиболее естественно ссылаться на формулу Грина, то обратное получается обратным переходом по той же формуле Грина от контурных интегралов к двойным по маленьким участкам. Если рассмотреть последовательность контуров, охватывающих произвольную фиксированную точку и стягивающихся к ней, то в случае нарушения условий Коши-Римана в этой точке двойной (а значит, и контурный) интеграл для достаточно маленького участка окажется ненулевым. Это стандартная логика.
(Если, конечно, не заморачиваться всякими тонкостями в духе Шабата и с самого начала честно потребовать, чтобы аналитическая функция была именно непрерывно дифференцируема по вещественным аргументам. Формально это требование избыточно, да чего уж там.)

Во-вторых: $f(z)=\overline z$ -- это ведь вполне конкретная и очень простая функция. Просто тупо и явно посчитайте интегралы по двум разным путям, соединяющим какие-нибудь две точки, и убедитесь в том, что они различаются. (Проще всего: в одном случае двигаться сначало по горизонтали, потом по вертикали, а в другом -- наоборот.)

[Padawan]

Munin в сообщении #499247 писал(а):

Padawan в сообщении #499187 писал(а):

Производная аналитической функции сама является аналитической функцией.

Но о существовании первообразной у неаналитической функции это ещё не говорит

По определению первообразной, первообразная должна иметь производную, т.е. быть аналитической.

[Alexeybk5]

Спасибо
Если честно сказать я так и сделал ( посчитал интеграл по двум разным путям и получил разные интегралы)

просто было интересно как можно всю эту радость доказать теоретически


Спасибо за ответы

[ewert]

Padawan в сообщении #499318 писал(а):

По определению первообразной, первообразная должна иметь производную, т.е. быть аналитической.

Не совсем так. Первообразная по определению -- это просто первообразная, а чтобы доказать, что она связана ещё и с интегралом -- нужно ещё некоторое к-во заклинаний.

[Munin]

Padawan в сообщении #499318 писал(а):

По определению первообразной, первообразная должна иметь производную, т.е. быть аналитической.

Ну как же это? Производная аналитической функции аналитическая, производная неаналитической неаналитическая :-)

[ewert]

Munin в сообщении #499375 писал(а):

производная неаналитической неаналитическая

Производная неаналитической функции никак не может быть неаналитической -- её просто не существует.

[Padawan]

ewert в сообщении #499354 писал(а):

Padawan в сообщении #499318 писал(а):

По определению первообразной, первообразная должна иметь производную, т.е. быть аналитической.

Не совсем так. Первообразная по определению -- это просто первообразная, а чтобы доказать, что она связана ещё и с интегралом -- нужно ещё некоторое к-во заклинаний.

Так... Мы друг друга не понимаем. Что такое первообразная? Это функция, производная которой равна данной функции. А про интеграл я ничего не говорил.

[ewert]

Padawan в сообщении #499387 писал(а):

Мы друг друга не понимаем. Что такое первообразная? Это функция, производная которой равна данной функции. А про интеграл я ничего не говорил.

Да, действительно не понимаем.

Я-то имел в виду, что первообразная как интеграл появляется гораздо раньше, чем теорема об аналитичности производной.