доказательство монотонности

[max(Im)]

Рассмотрим функцию целочисленного аргумента:

$$F(n)=\sum\limits_{k=1}^{n-1}C_n^k\cdot\dfrac{1}{2^{k(n-k)}}.$$

Как доказать, что эта функция при $n\geqslant 5$ монотонно убывает?
Можно тривиальной оценкой $C_n^k \leqslant \left(\frac{en}{k}\right)^k$ и приведением к геометрической прогрессии показать, что $F(n)\to 0$ при $n\to \infty.$ Но вот с монотонностью так не получается. Как можно к этому подойти?

[Shadow]

$$\sum\limits_{k=0}^{n}C_n^k\cdot\dfrac{1}{2^{k(n-k)}}=\left(\frac 1 2+\frac 1 2\right)^n$$

[TOTAL]

Shadow в сообщении #498822 писал(а):

$$\sum\limits_{k=0}^{n}C_n^k\cdot\dfrac{1}{2^{k(n-k)}}=(\left\frac 1 2+\frac 1 2)\right^n$$

Неверно.

[Shadow]

TOTAL в сообщении #498823 писал(а):

Неверно.

И правда неверно. Глупость написал

[gris]

я тоже хочу написать чего-нибудь.
Мне кажется, что это выражение есть вероятность некоторого события для $n$ шаров. И интуитивно понятно, что с возрастанием числа шаров вероятность события уменьшается.

Кстати, а убывает функция и правда приближённо как прогрессия со знаменателем чуть большим 0,5.

[mihiv]

$$F(n+1)=\sum \limits _{k=1}^{n-1}A_{k,n+1}+A_{n,n+1}\qquad (1)$$

Рассмотрим отношение:$\dfrac {A_{k,n+1}}{A_{k,n}}=\dfrac {n+1}{2^k(n-k+1)}.$Максимальное значение этого отношения достигается при $k=1$ и равно $\dfrac {n+1}{2n}$Поэтому сумма в (1) меньше $\dfrac {n+1}{2n}F(n),$ легко показать,что $A_{n,n+1}<\dfrac {F(n)}3$,поэтому $F(n+1)<F(n)$

[xmaister]

Вроде бы в лоб можно :
$F(n)-F(n+1)=n!\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac1{k!(n-k)!2^{k(n-k)}}-n!\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{n+1}{k!(n-k+1)!2^{k(n-k+1)}}-n!\frac{n+1}{n!1!2^n}$
$F(n)-F(n+1)=n!\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{(n-k+1)2^k-n-1}{k!(n-k+1)!2^{k(n-k+1)}}-n!\frac{n+1}{n!1!2^n}$
$F(n)-F(n+1)=n!\sum\limits_{k=2}^{n-2}\frac{(n-k+1)2^k-n-1}{k!(n-k+1)!2^{k(n-k+1)}}+n!\frac{n-1}{n!1!2^n}+n!\frac{(2^n-n-1)n}{n!2^{2n-1}}-n!\frac{n+1}{n!1!2^n}$
Теперь можно показать, что $n!\frac{n-1}{n!1!2^n}+n!\frac{(2^n-n-1)n}{n!2^{2n-1}}-n!\frac{n+1}{n!1!2^n}$ больше 0, при $n\ge 5$

[max(Im)]

mihiv
Что такое $A_{k,n}$?

xmaister
И правда можно... спасибо!

[mihiv]

$A_{k,n}=C^k_n\dfrac 1{2^{k(n-k)}}$