ФА метрическое пространство

[leo82]

Дано мн-во X $[0,+\infty)$ с метрикой $\rho (x,y)=\min (1,|x^2-y^2|)$
То что это метрика я проверил (неотриц + 3 св-ва)
Любое множество на X получается ограниченное - содержится в открытом шаре, т.к. $U(a,r)=X$ при $r\ge1$
Хочу попросить направить меня и поправить мои рассуждения в следующих вопросах
1)можно ли рассматривать сходимость последовательности $x_n = \frac{(-1)^n n} {n^2+1}$ к $x=1$ в $X$. проверил - сходится, но можно ли вообще рассматривать учитывая отрицательные члены посл-ти?
2)компактность множества $A=[-1,1] \bigcap X$ по моему равно $[0,1]$ . т.к. $X$ - метрическое пространство то $A$ ограничено и достаточно показать что существует $\varepsilon$-сеть. понимаю что такую сеть можно построить, но вот не могу записать. приведите пожалуйста пример такой сети
Как показать что для $A=N \bigcap X$ такой сети не построить?
3)Про полноту. если рассмотреть любую фундаментальную посл-ть и получим $|(x_n_+_m)^2-(x_n)^2|<\varepsilon$ следует из этого что $|x_{n+m}-x_n|<\varepsilon$ т.к. $x_{n+m} , x_n$ принадлежат $X$ и тогда выполняется критерий Коши сходимости последовательностей?

[MaximVD]

1) Нельзя, т.к. не все элементы принадлежат множеству $X$. Вдобавок указанная последовательность (если вы её правильно написали) не сходится к единице, даже если убрать из числителя $(-1)^n$, мешающее последовательности попасть в $X$.

2) Попробуйте сначала построить конечную $\varepsilon$-сеть для отрезка $[0,1]$, если рассматривается стандартная метрика, т.е. $\rho(x,y) = |x - y|$. (Сначала можно построить $\frac 1 n$-сеть, а потом разобраться с произвольным $\varepsilon > 0$). Затем по аналогичной схеме можно построить конечную $\varepsilon$-сеть и для вашего примера.

Для $\mathbb{N} \cap X$. Напишите отрицание утверждения: для любого $\varepsilon > 0$ существует конечная $\varepsilon$-сеть. И воспользуйтесь этим отрицанием

3) Непонятно, что вы хотите сказать.

leo82 в сообщении #498740 писал(а):

если рассмотреть любую фундаментальную посл-ть и получим $|(x_n_+_m)^2-(x_n)^2|<\varepsilon$ следует из этого что $|(x_n_+_m)-(x_n)|<\varepsilon$ т.к. $x_n_+_m , x_n$ принадлежат X и тогда выполняется критерий Коши сходимости последовательностей?

Напишите, пожалуйста, яснее.

[leo82]

MaximVD в сообщении #498936 писал(а):

1) Нельзя, т.к. не все элементы принадлежат множеству $X$. Вдобавок указанная последовательность (если вы её правильно написали) не сходится к единице, даже если убрать из числителя $(-1)^n$, мешающее последовательности попасть в $X$.

Прошу простить, банальная описка - сходится к 0
если правильно вас понял то все последовательности в X будут состоять из неотрицательных чисел и по моему будет выполняться: если $|(x_n)^2 - (x_0)^2|=0$ то $|x_n - x_0|=0$? (надо проверить вытекает ли из сходимости в Х сходимость в R)
но наоборот работать не будет т.к. в R есть последовательности с отрицательными элементами

MaximVD в сообщении #498936 писал(а):

2) Попробуйте сначала построить конечную $\varepsilon$-сеть для отрезка $[0,1]$, если рассматривается стандартная метрика, т.е. $\rho(x,y) = |x - y|$. (Сначала можно построить $\frac 1 n$-сеть, а потом разобраться с произвольным $\varepsilon > 0$). Затем по аналогичной схеме можно построить конечную $\varepsilon$-сеть и для вашего примера.

спасибо попробую на свежую голову. сейчас уже не соображаю. как понимаю для построение сети достаточно указать конечное множество точек, окрестости которых будут содержать все точки указанного множества?

MaximVD в сообщении #498936 писал(а):

Для $\mathbb{N} \cap X$. Напишите отрицание утверждения: для любого $\varepsilon > 0$ существует конечная $\varepsilon$-сеть. И воспользуйтесь этим отрицанием

а здесь можно просто указать тот факт что расстояния между двумя любыми элементами данного множества в указанном пространстве равно 1 и соответственно сеть для любого $\varepsilon$-сеть не построить? по сути сказал видимо тоже самое..

MaximVD в сообщении #498936 писал(а):

3) Непонятно, что вы хотите сказать.

leo82 в сообщении #498740 писал(а):

если рассмотреть любую фундаментальную посл-ть и получим $|(x_n_+_m)^2-(x_n)^2|<\varepsilon$ следует из этого что $|(x_n_+_m)-(x_n)|<\varepsilon$ т.к. $x_n_+_m , x_n$ принадлежат X и тогда выполняется критерий Коши сходимости последовательностей?

Напишите, пожалуйста, яснее.

я хочу проверить полноту пространства. написать определение любой фундаментальной последовательности в данном пространстве через метрику пространства и от нее перейти к метрике $|x_n_+_m-x_n|<\varepsilon$ . Если не путаю то тогда будет работать критерий Коши и последовательность будет сходящийся, а значит пространство полным

[MaximVD]

leo82 в сообщении #498994 писал(а):

если правильно вас понял то все последовательности в X будут состоять из неотрицательных чисел

Да, вы правы.

leo82 в сообщении #498994 писал(а):

(надо проверить вытекает ли из сходимости в Х сходимость в R)

Из того, что $| x_n^2 - x_0^2| \to 0$ следует, что $|x_n - x_0| \to 0$. Только это надо показать аккуратно.

leo82 в сообщении #498994 писал(а):

но наоборот работать не будет т.к. в R есть последовательности с отрицательными элементами

Да, но здесь, скорее всего, подразумевалось следующее: пусть есть сходящаяся последовательность из $\mathbb{R}$, которая принадлежит $X$ (т.е. все её члены неотрицательны). Будет ли эта последовательность сходиться в $X$?

leo82 в сообщении #498994 писал(а):

а здесь можно просто указать тот факт что расстояния между двумя любыми элементами данного множества в указанном пространстве равно 1 и соответственно сеть для любого $\varepsilon$-сеть не построить?

Безусловно необходимо воспользоваться этим фактом, но просто указать на него не достаточно. Надо сказать ещё несколько слов. (Не забывайте писать про конечность сети, это важно!)

leo82 в сообщении #498994 писал(а):

я хочу проверить полноту пространства. написать определение любой фундаментальной последовательности в данном пространстве через метрику пространства и от нее перейти к метрике $|x_{n+m}-x_m| < \varepsilon$. Если не путаю то тогда будет работать критерий Коши и последовательность будет сходящийся, а значит пространство полным

Да, теперь работает критерий Коши, но в обычном $\mathbb{R}$, с обычной метрикой. Остаётся сделать один шаг, для того чтобы доказать полноту исходного пространства.

[leo82]

Рад что многие из моих предположений оказались верными и тот бред что я уже сдал не завернут полностью :). Жаль только многие из суждений не смог грамотно обосновать

MaximVD в сообщении #499016 писал(а):

leo82 в сообщении #498994 писал(а):

но наоборот работать не будет т.к. в R есть последовательности с отрицательными элементами

Да, но здесь, скорее всего, подразумевалось следующее: пусть есть сходящаяся последовательность из $\mathbb{R}$, которая принадлежит $X$ (т.е. все её члены неотрицательны). Будет ли эта последовательность сходиться в $X$?

надо будет уточнить у преподавателя, что он подразумевал

MaximVD в сообщении #499016 писал(а):

leo82 в сообщении #498994 писал(а):

я хочу проверить полноту пространства. написать определение любой фундаментальной последовательности в данном пространстве через метрику пространства и от нее перейти к метрике $|x_{n+m}-x_m| < \varepsilon$. Если не путаю то тогда будет работать критерий Коши и последовательность будет сходящийся, а значит пространство полным

Да, теперь работает критерий Коши, но в обычном $\mathbb{R}$, с обычной метрикой. Остаётся сделать один шаг, для того чтобы доказать полноту исходного пространства.

Возможно передя к обычной метрике можно сказать что последовательность сходится в $\mathbb{R}$, а из предположительного вывода написанного выше и в Х. или здесь возможен другой ход ?

[MaximVD]

leo82 в сообщении #499030 писал(а):

Возможно передя к обычной метрике можно сказать что последовательность сходится в $\mathbb{R}$, а из предположительного вывода написанного выше и в Х. или здесь возможен другой ход ?

Другой ход не нужен, достаточно этого.

[leo82]

Огромное спасибо!
Не подскажите где можно посмотреть примеры построения $\varepsilon$-сетей, а то что то у меня с этим туговато. Понимаю что можно построить, а вот как записать или найти это множество точек.
Например для отрезка $[0,1]$ конечная $\varepsilon$-сеть с рассматриваемой метрикой. $\frac 1 n$ -не будет такой сетью?

[MaximVD]

leo82
Скажем, есть у вас какое-то подмножество $A$ некоторого метрического пространства $(X, \rho)$ и $\{ x_1, \ldots, x_m \}$ является $\varepsilon_0$-сетью для множества $A$, $\varepsilon_0 > 0$. Что это означает? Это означает, что если мы возьмём и построим открытые шары с центром в точках $x_i$ радиуса $\varepsilon_0$, то эти шары "накроют" множество $A$.
Поэтому $\varepsilon$-сеть можно (хотя и не всегда удобно) строить следующим образом: берёте какую-нибудь точку из $A$, скажем $y_1$, и строите шар радиуса $\varepsilon$ с центром в точке $y_1$. Затем смотрите - "накрыл" этот шар множество $A$ или нет? Если да, то вы построили $\varepsilon$-сеть. Если нет, то берёте какую-нибудь точку из $A$, которая не попала в шар, скажем, $y_2$. Строите шар с центром в точке $y_2$ и опять проверяете "накрыли" 2 построенных шара множество $A$ или нет? И так далее. Нетрудно показать, что если у множества $A$ существует конечная $\varepsilon$-сеть, то действуя по такому алгоритму вы её построите. Если же конечной $\varepsilon$-сети нет, то алгоритм будет работать бесконечно.

Попробуйте применить этот алгоритм для множества $[0,1]$ со стандартной метрикой и $\varepsilon = \frac 1 n$. Предлагаю начать из точки $0$ или из точки $1$. Действуя по такому же принципу можно построить $\varepsilon$-сеть и для вашего примера.

[leo82]

Спасибо, буду пробывать