Пусть

-- пространство со счетно-адитивной мерой.

-- измеримое отображение, сохраняющее меру:

Теорема. Предположим, что множество

инвариантно по модулю 0 т.е.

.
Тогда существует множество

такое, что

.
(

-- симметрическая разность:

)
Доказательство. Зададим множество

следующим образом

Поскольку

имеем

Докажем, что

. Для этого заметим, что найдутся множества

такие, что

. (Доказывается по индукции с использованием (*)). По определению, положим

.
Проверим, что

. Действительно,

ЧТД
Условие (*) можно заменить на такое условие:

переводит множества меры 0 в множества меры 0.