потенциал сферического слоя

[olik100]

подскажите пожалуйста какие нужно взять пределы для нахождения потенциала в областях сферического слоя (т.е. при R1<=r<=R2, r>R2). если фи=Edr

[ewert]

olik100 в сообщении #498411 писал(а):

подскажите пожалуйста какие нужно взять пределы для нахождения потенциала

Никакие, и вообще непонятно, о каких пределах речь. Потенциал снаружи известен (это потенциал соотв. точечного заряда); соответственно, известно и значение этого потенциала на внешней поверхности. Остаётся лишь добавить к этому значению честный интеграл от напряжённости вдоль радиуса внутрь слоя (а зависимость напряжённости от радиуса мгновенно получается из теоремы Остроградского-Гаусса).

-- Ср ноя 02, 2011 10:40:39 --

Нет, я передумал, надо проще. Заполним для начала полость зарядом с той же плотностью. Тогда потенциал при $r>R_2$ равен $u_1(r)=\dfrac{A}{r}$, где $A$ определяется понятным образом через $q$, $R_1$ и $R_2$. Внутри шара он будет выглядеть, очевидно, как $u_2(r)=B-Cr^2$ (поскольку, как известно, внутри однородного шара напряжённость прямо пропорциональна расстоянию до центра). Постоянные $B$ и $C$ выражаются через $A$ из условий гладкости на внешней поверхности: $u_1(R_2)=u_2(R_2)$ и $u'_1(R_2)=u'_2(R_2)$. И остаётся только вычесть из $u_1(r)$ и $u_2(r)$ потенциальчик $u_3(r)=\dfrac{D}{r}$, создаваемый добавленным лишним зарядом, в котором постоянная $D$ определяется соотношением $\dfrac{D}{A}=\dfrac{R_1^3}{R_2^3}$.

[olik100]

Я хотела бы узнать пределы интегрирования к этому самому интегралу от напряженности в разных областях сферы. Кроме r<R1 (там фи = const)

[Bulinator]

olik100,
ewert привел Вам классическое и, соответственно, самое изящное решение этой задачи. Вам бы лучше его попытаться понять. Однако, насколько у меня работает телепатия Вы хотите искать решение немного более формальным путем. А именно, известно, что заряженная сфера не создает поля внутри себя, а значит, потенциал в какой-то точке $r_0$($R_1<r_0<R_2$) определяется заряженной частью с радиусом меньше $r_0$. Мысленно разделим эту часть на сферы с радиусом $r<r_0$, толщиной $dr$ и зарядом $\ldots dr$(замените точки правильным выражением). Потенциал в точке $r_0$ является суммой потенциалов вот таких сфер с $r<r_0$. Запишите интеграл и сами подумайте, как взять пределы интегрирования.

[olik100]

благодарю за помощь, в итоге оказалось все проще