Тензор 3 его ранга, и произведение тензоров!

[Mitrandir]

Тенор 3 его ранга- это матрица 3-х мерная?
По какому правилу производится перемножение тензора третьего ранга и тензора второго ранга (если Тен. 3 его ранга - 3-х мерная матрица)?

Также как и перемножение матриц, только слой за слоем??

[EvilPhysicist]

Mitrandir в сообщении #497768 писал(а):

Тенор 3 его ранга- это матрица 3-х мерная?

Ну если $T$ - тензор ранга 3, то его координаты объект и тремя индексами, что дожно назвать 3-х мерной матрицей.

Mitrandir в сообщении #497768 писал(а):

По какому правилу производится перемножение тензора третьего ранга и тензора второго ранга

Ну там куча перемножений
если скалярно
$ T \cdot B= T_{ijk} e^i \otimes e^j \otimes e^k \cdor B_{ns} e^n \otimes e^s = T_{ijk} B_{ns} e^i \otimes e^j \otimes e^s g^{kn} $
если векторно
$ T \times B= T_{ijk} e^i \otimes e^j \otimes e^k \times B_{ns} e^n \otimes e^s =T_{ijk} B_{ns} e^i \otimes e^j \otimes e^s \cfrac{\varepsilon_{knl}}{g} e_l $

Короче говоря, Дмитриенко, "тензорное исчисление" или Рашевский " Риманова геомтерия и тензорный анализ " - там всё объясняется.

[Mitrandir]

Спасибо.

[Munin]

Mitrandir в сообщении #497768 писал(а):

По какому правилу производится перемножение тензора третьего ранга и тензора второго ранга (если Тен. 3 его ранга - 3-х мерная матрица)?Также как и перемножение матриц, только слой за слоем??

Дело в том, что у тензора 3 ранга - ажно 3 индекса. И перемножить его можно многими разными способами. В зависимости от того, какой индекс тензора вы берёте для умножения:
$T_{ijk}B^{k}{}_{s},$ $T_{ijk}B^{j}{}_{s},$ $T_{ijk}B^{i}{}_{s},$ $T_{ijk}B_{n}{}^{k},$ $T_{ijk}B_{n}{}^{j},$ $T_{ijk}B_{n}{}^{i}$
- и это всё только для первого способа, предложенного EvilPhysicist (для тензоров используется термин "свёртка по одному индексу"). Все эти варианты дают разные результаты (если тензоры не симметричны по перестановке индексов), и вычисляются по-разному. Если опираться на аналогию с произведением матриц, то эти способы отличаются тем, как именно "3-мерная матрица" раскладывается на слои для операции умножения, и соответственно, транспонируется ли "2-мерная матрица". Рекомендуется попрактиковаться на простых примерах, чтобы потом, когда придёт нужда, не запутаться.

[Утундрий]

В общем, коротко говоря, проще всего понять перемноженые тензоров высших валентностей проводя аналогию с более привычным умножением матриц и векторов, представленных в покомпонентной форме (в виде штучек с индексами). И упаси Вас св. Тензор мысленно располагать компоненты сии в виде обувных коробок и тессерактов! Серьёзно, не стоит. Гомосапиенсный мозг для такого не предназначен.

[Munin]

Утундрий в сообщении #498240 писал(а):

Гомосапиенсный мозг для такого не предназначен.

Ограничьтесь высказываниями за свой личный мозг, пожалуйста. Кому как удобней, тот пусть так и располагает.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #498276 писал(а):

Ограничьтесь высказываниями за свой личный мозг, пожалуйста.

Не ограничусь и безосновательное требование ваше проигнорирую, так как не считаю его ни истинным ни уместным. Первоначальное сообщение остается в силе.

Да, кстати, оффтопики здесь принято оформлять соответствующим тегом.

[Munin]

В таком случае вот вам встречный тезис: "гомосапиенсному" мозгу, как вы его называете, не стоит вообще заниматься тензорной алгеброй. Поскольку не располагая мысленно компоненты, ничего не нароешь вообще.