Дивизор на эллиптической кривой

[neo66]

Пусть дана какая-нибудь эллиптическая кривая $C$, заданная в афинной карте, например, уравнением, $y^2=x^3-x$.
$x$ - можно рассматривать как функцию на этой кривой. Хочется посчитать дивизор этой функции.В конечных точках я могу его посчитать. Он будет равен $2(P_0)$, где $P_0= (0,0) \in C$. Поэтому, повидимому, $div(x) = 2(P_0) - 2(P_{\infty}) $. Но, как это посчитать явно, кто-нибудь понимает?

[Хорхе]

Что значит "посчитать явно" и "посчитать дивизор в точке(?)"? Мои робкие (то есть более чем скромные) познания в эллиптических кривых подсказывают, что у функции $x$ один нуль (в нуле) и один полюс (на бесконечности), оба порядка два, так что ответ правильный.

[neo66]

Извините, выражаюсь коряво. Имелось в виду посчитать порядки нулей и полюсов. Как это поизящьней сделать?

[Хорхе]

Ну порядок на бесконечности просто легко считается выражается через степень многочлена $x$ (которая равна двум) с минусом. А в нуле, честно говоря, плохо понимаю, как считается. Там просто степень двойка, а с ней свои заморочки. Но ежу ясно, что, так как $x^3$ "очень мало" по сравнению с $x$, то порядок функции $x$ в нуле вдвое больше порядка функции $y$, которому по всем признаком сам бог велел равняться единичке.

[neo66]

Ну, кажется, разобрался. Напишу подробно.

В окрестности точки $P_0=(0,0)$ за локальную координату можно выбрать $y$. Тогда $x$ будет голоморфной функцией от $y$, причем $x(0)=0$. Так как $x=y^2 \frac 1 {x^2-1}$ и $\frac 1 {x^2-1}$ - голоморфная функция от $y$, то $x$ имеет в точке $P_0$ нуль порядка два.

То, что в остальных конечных точках наша функция не имеет нулей и полюсов будем считать очевидным.

Рассмотрим поведение нашей функции в "бесконечно удаленной точке". Наша кривая в $P^2$ имее вид $y^2t=x^3-xt^2$. При этом нас интересует функция $f(.)=\frac x t$ на ней. В окрестности точки $P_\infty= (0,1,0) \in P^2$ будем рассматривать нашу кривую в афинной карте $y=1$. В ней кривая имеет вид $t=x^3-xt^2$. Здесь $x$ можно рассматривать как локальную координату, а $t$ как голоморфную функцию от $x$. Имеем очевидное тождество: $\frac x t= \frac 1 {x^2} (1+xt)$, где то, что в скобке - голоморфная функция, не обращающаяся в ноль в точке $P_\infty$. Отcюда видно, что наша функция имеет в этой точке полюс порядка два. Уфф...

[nnosipov]

neo66, Ваш вопрос не о том, чтобы разложить в ряд решение $x=x(y)$ уравнения $y^2=x^3-x$ ряд (Лорана, Пюизо) при $y=\infty$?

[neo66]

nnosipov в сообщении #498164 писал(а):

neo66, Ваш вопрос не о том, чтобы разложить в ряд решение $x=x(y)$ уравнения $y^2=x^3-x$ ряд (Лорана, Пюизо) при $y=\infty$?

Условно, наверное, можно сказать, что об этом. Основная трудность в том, чтобы точно сформулировать вопрос. Дальше уже дело техники. Кроме того, в математике есть вопросы, относящиеся к так называемому математическому фольклеру, которые никто никогда подробно и аккуратно не написал ни в книгах, ни в статьях, понимание которых остается на совести каждого конкретного математика и которые часто просто не понимают. По крайней мере, далеко не все.

[nnosipov]

neo66 в сообщении #498172 писал(а):

Основная трудность в том, чтобы точно сформулировать вопрос. Дальше уже дело техники.

Понятно. Думаю, техника разложения в ряды Лорана (Пюизо) алгебраических функций более-менее известна всем (мне вот недавно популярно объяснили, как по многоугольнику Ньютона выяснить, когда будет ряд Лорана, а когда Пюизо; до этого как-то не задумывался). Так что если дело в ней, то проблем не будет ...